Zupełność przestrzeni C[a,b]

[PrzeChMatematyk]

Witam,

Mam następujący problem:
Wykazać że przestrzeń C[a,b] (przestrzeń funkcji ciągłych na przedziale domkniętym [a,b]) nie jest zupełna w normie:
\(\displaystyle{ \|f\|_1=\int^b_a|f|}\)
ale jest zupełna w normie:
\(\displaystyle{ \|f\|=sup_{[a,b]}|f|}\)

Czy istnieje w tej przestrzeni iloczyn skalarny??

[fon_nojman]

Zupełność: co powiesz o ciągu \(\displaystyle{ (x^n)}\) na \(\displaystyle{ [0,1]}\)?

[pipol]

Zupełność: co powiesz o ciągu \(\displaystyle{ (x^n)}\) na \(\displaystyle{ [0,1]}\)?

Generalnie nic poza tym, że jest zbieżny, gdyż \(\displaystyle{ || f_n -0||= \int_{0}^{1} |x^n -0|dx =\frac{1}{n+1} \rightarrow 0}\)

[fon_nojman]

Co nieco trza pozmieniać.

\(\displaystyle{ f_n (x)=\min\{x^n, 1\},\ x\in [0,2],\ n\in \mathbb{N}}\)

spełnia warunek Cauchy'ego ale nie zbieżny w \(\displaystyle{ \| \cdot \|.}\)

[joogurcik]

Co nieco trza pozmieniać.

\(\displaystyle{ f_n (x)=\min\{x^n, 1\},\ x\in [0,2],\ n\in \mathbb{N}}\)

spełnia warunek Cauchy'ego ale nie zbieżny w \(\displaystyle{ \| \cdot \|.}\)

odnawiam pytanie...
jak dowieść że nie jest zbieżny?

[Elvis]

Można zauważyć, że jest zbieżny w tej normie do funkcji nieciągłej (należącej do większej przestrzeni \(\displaystyle{ L^1([a,b])}\)). To wyklucza zbieżność do jakiejś funkcji ciągłej.