Wykaż podzielność
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wykaż podzielność
Zauważ, że z Małego Twierdzenia Fermata mamy, że dana liczba dzieli się przez 5, pozostaje wykazać podzielność przez 6, zauważmy, że:
\(\displaystyle{ n^5-n = n(n^4-1) = n(n^2+1)(n^2-1) = (n-1)n(n+1)(n^2+1)}\)
Ale \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\) będzie zawsze podzielne przez 6, ponieważ jest to iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych, w których zawsze znajdzie się jedna liczba podzielna przez 3 i przynajmniej jedna liczba podzielna przez 2.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ n^5-n = n(n^4-1) = n(n^2+1)(n^2-1) = (n-1)n(n+1)(n^2+1)}\)
Ale \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\) będzie zawsze podzielne przez 6, ponieważ jest to iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych, w których zawsze znajdzie się jedna liczba podzielna przez 3 i przynajmniej jedna liczba podzielna przez 2.
Pozdrawiam.
- Quaerens
- Użytkownik
- Posty: 2489
- Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 439 razy
- Pomógł: 181 razy
Wykaż podzielność
\(\displaystyle{ n=k \\ k=k+1 \\ (k+1)^{5}-(k+1)=k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1-k-1=(k^{5}-k)+5(k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+k)}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ k^{5}-k}\) jest wielokrotnością 5 to ponieważ drugi składnik także jest taki to nasza liczba musi być wielokrotnością liczby 5, zatem podzielna przez 30. Oczywiście dla pewnego k będzie całkowicie podzielna przez 30.
Jeżeli \(\displaystyle{ k^{5}-k}\) jest wielokrotnością 5 to ponieważ drugi składnik także jest taki to nasza liczba musi być wielokrotnością liczby 5, zatem podzielna przez 30. Oczywiście dla pewnego k będzie całkowicie podzielna przez 30.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Wykaż podzielność
Wydaję mi się, że tak, dodatkowo wszystko słownie wytłumaczyliśmy, aczkolwiek uważam, że jeżeli takie zadanie byłoby na maturze lepiej różnymi twierdzeniami posługiwać się w ostateczności, a na początku próbować to udowodnić elementarnie np tak jak napisał smigol
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.