Wykaż podzielność

[smmileey]

Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ n^{5}-n}\) jest podzielna przez 30.

[Vax]

Zauważ, że z Małego Twierdzenia Fermata mamy, że dana liczba dzieli się przez 5, pozostaje wykazać podzielność przez 6, zauważmy, że:

\(\displaystyle{ n^5-n = n(n^4-1) = n(n^2+1)(n^2-1) = (n-1)n(n+1)(n^2+1)}\)

Ale \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\) będzie zawsze podzielne przez 6, ponieważ jest to iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych, w których zawsze znajdzie się jedna liczba podzielna przez 3 i przynajmniej jedna liczba podzielna przez 2.

Pozdrawiam.

[Quaerens]

\(\displaystyle{ n=k \\ k=k+1 \\ (k+1)^{5}-(k+1)=k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1-k-1=(k^{5}-k)+5(k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+k)}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ k^{5}-k}\) jest wielokrotnością 5 to ponieważ drugi składnik także jest taki to nasza liczba musi być wielokrotnością liczby 5, zatem podzielna przez 30. Oczywiście dla pewnego k będzie całkowicie podzielna przez 30.

[smigol]

\(\displaystyle{ n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)}\).

[kamil13151]

Vax, jakbyśmy tak napisali na maturze to byśmy dostali max punktów?

[Vax]

Wydaję mi się, że tak, dodatkowo wszystko słownie wytłumaczyliśmy, aczkolwiek uważam, że jeżeli takie zadanie byłoby na maturze lepiej różnymi twierdzeniami posługiwać się w ostateczności, a na początku próbować to udowodnić elementarnie np tak jak napisał smigol

Pozdrawiam.