rzut prostej na płaszczyznę

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: alfgordon »

znaleźć rzut prostej \(\displaystyle{ l_{1} : \frac{x}{2}= \frac{y}{3} = \frac{z}{1}}\) na płaszczyznę poprowadzoną przez prostą:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} 2x +3y +z-8=0 \\ x+4y-2z+3=0 \end{cases}}\)
równolegle do prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\)

wydaje mi się że wiem jak znaleźć rzut prostej na płaszczyznę, jednak tego zadania nie rozumiem,

Bo nie wiem jak znaleźć równanie płaszczyzny..
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: Crizz »

Wyznacz wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\) jako iloczyn wektorowy wektorów normalnych podanych w równaniu płaszczyzn, tzn. \(\displaystyle{ [2,3,1] \times [1,4,-2]}\).

Następnie wyznacz wektor normalny do szukanej płaszczyzny jako iloczyn wektorowy powyższego wektora oraz wektora kierunkowego prostej \(\displaystyle{ l_1}\).

Dalej już chyba sobie poradzisz.
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: alfgordon »

\(\displaystyle{ [2,3,1] \times [1,4,-2] =[-2,1,1]}\)
\(\displaystyle{ [-2,1,1] \times [2,3,1] =[-1,2,-2]}\)

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x= \frac{49}{5} -2t \\ y= - \frac{14}{5} +t \\ z=t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \pi : -(x- \frac{49}{5}) +2(y- \frac{14}{5}) -2z=0}\)


Szukam pktów wspólnych prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ \pi}\) i wychodzi dla \(\displaystyle{ t=- \frac{21}{10}}\)
\(\displaystyle{ A=(- \frac{41}{10},- \frac{63}{10}, - \frac{21}{10})}\)

szukam 2 pktu:
dla \(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ B=(0,0,0)}\), \(\displaystyle{ B' =(x,y,z)}\)
\(\displaystyle{ BB' =[x,y,z] || [-1,2,-2]}\)

\(\displaystyle{ \exists k \neq 0 : \begin{cases} x=-k \\ y=2k \\ z=-2k \end{cases}}\)
i \(\displaystyle{ B' \in \pi}\) więc:

rozwiązuje układ równań:
\(\displaystyle{ k+4k +4k + \frac{21}{5}=0 \Rightarrow k= - \frac{7}{15}}\)

\(\displaystyle{ B' =( \frac{7}{15} , - \frac{14}{15} , \frac{14}{15} )}\)

i teraz wystarczy rozw. równanie:
\(\displaystyle{ \frac{x+ \frac{41}{10} }{ \frac{7}{15} + \frac{41}{10}} = \frac{y+ \frac{63}{10} }{- \frac{14}{15}+ \frac{63}{10} }= \frac{z+ \frac{21}{10} }{ \frac{14}{15}+ \frac{21}{10} }}\)

Dobrze robię? bo coś dziwne wyniki wychodzą...
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: Crizz »

Hmmm... wydaje mi się, ze te iloczyny wektorowe na początku są źle obliczone. W pierwszym to sobie specjalnie uprościłeś ten wektor chyba? Czy taki Ci wyszedł rzeczywiście wynik? W drugim kompletnie się nie zgadza.
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: alfgordon »

tak uprościłem sobie, i rzeczywiście mam błąd, powinno wyjść:
\(\displaystyle{ [-1,2,-4]}\)
A idea dobra?
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: Crizz »

Idea dobra.
ODPOWIEDZ