Wykazać podzielność przez 7

[PFKjatoja]

Witam, koś może pomoże i da jakieś w wskazówki ?

Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ 2010^{10}+50^{10}-2}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\).

[Vax]

Zauważ, że

\(\displaystyle{ 2010 \equiv 1 \pmod{7} \wedge 50 \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow 2010^{10} \equiv 1 \pmod{7} \wedge 50^{10} \equiv 1 \pmod{10}}\)

Dodając stronami te 2 kongruencje otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 2010^{10} + 50^{10} \equiv 2 \pmod{7} \Leftrightarrow 2010^{10} + 50^{10} - 2 \equiv 0 \pmod{7}}\)

cnd.

Pozdrawiam.

[poetaopole]

A może zrobi to ktoś bez KONGURENCJI? I da mi znac na maila

[Vether]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 50^{10} \equiv 1 (mod \ 10)}\)

?
Edit: Niech bedzie, że Ci wierzę

\(\displaystyle{ 2010=2009+1=7p+1}\)

\(\displaystyle{ 50=49+1=7q+1}\)

Więc:

\(\displaystyle{ 2010^{10}+50^{10}-2=\left( 7p+1\right)^{10}+\left( 7q+1\right)^{10}-2=7p'+1+7q'+1-2=7(p'+q')}\)

[Vax]

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 50^{10} \equiv 1 (mod \ 10)}\)

?

Skoro chodzi o podzielność przez 7, wszędzie jest \(\displaystyle{ \pmod{7}}\) można się domyślić że jest literówka i zamiast \(\displaystyle{ 10}\) ma być \(\displaystyle{ 7}\)..

[poetaopole]

A to: \(\displaystyle{ 44444 ^{44444} +3333 ^{3333} -2}\) dzieli przez \(\displaystyle{ 7}\) - zdaje się tak samo działa?

[yorgin]

Elementarne rozwiązanie pierwszego, bez kongruencji, które można zaaplikować do drugiego:

\(\displaystyle{ 2010^{10}+50^{10}-2=(2010^{10}-1)+(50^{10}-1)=\\
(2010-1)(2010+2010^2+\ldots+2010^9)+(50-1)(50+50^2+\ldots+50^9)=\\
2009\cdot A+49\cdot B}\)

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ 7|2009}\) oraz \(\displaystyle{ 7|49}\).

[Vether]

\(\displaystyle{ 44444 ^{44444} +3333 ^{3333} -2 = \left( 44443+1\right)^{44444}+\left( 3332+1\right)^{3333}-2 =}\)

\(\displaystyle{ =\left( 7q+1\right)^{44444}+\left( 7p+1\right)^{3333}-2=7q'+1+7p'+1-2=7\left( q'+p'\right)}\)