rozszerzenie do relacji równowazności

[MgielkaCuba]

W zbiorze A dana jest relacja. Sprawdziłam, że nie jest to relacja równoważności i mam polecenie:
Czy relacje mozna rozszerzyć do relacji równowazności (relacji zupełnego porzadku). w jaki sposób mogę to rozserzyć, tzn na podstawie jakiej definicji/twierdzenia. Gdzie moge znaleźć informacje czy każdą relacje można rozszerzyć.

\(\displaystyle{ A={1,2,3,4,5}}\)
\(\displaystyle{ P={(1,2),(1,1),(2,2),(1,3),(3,1),(3,2),(2,3),(3,3)}}\)

[miodzio1988]

Chyba \(\displaystyle{ P}\) jest u Ciebie relacją, nie? relacja pełna jest relacją rownowaznosci?

[Jan Kraszewski]

Po pierwsze, nawiasy klamrowe to "{...}".

Po drugie, chodzi Ci o dowolne rozszerzenie, czy minimalne rozszerzenie?

JK

[MgielkaCuba]

Chodzi mi o minimalne rozszerzenie. Nie wiem czy dobrze rozumiem. Jeżeli dana relacja nie jest relacja równoważność i chcę ja rozszerzyć to muszę "dodać" elementy do tej relacji tak, żeby była relacją równoważności ?

[Jan Kraszewski]

Dobrze rozumiesz.

Rozszerzenie relacji do relacji zwrotnej polega na dodaniu wszystkich (brakujących) par \(\displaystyle{ (x,x)}\).

Rozszerzenie relacji do relacji symetrycznej polega na dodaniu (mnogościowo) relacji odwrotnej.

Rozszerzenie relacji do relacji przechodniej masz opisane .

Zauważ też, że nie można robić tych rozszerzeń niezależnie od siebie, trzeba to robić jedno po drugim.

JK