warunek Lipschitza

[asiula0321]

Mam sprawdzić czy funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{x^{2}+1}}\) spełnia na zbiorze R warunek Lipschitza. zatrzymałam sie w miejscu i nie wiem jak dalej oszacować
\(\displaystyle{ \left| \frac{x}{x^{2}+1} - \frac{y}{y^{2}+1} \right|=\left| \frac{xy^{2}+x-yx^{2}-y}{((x^{2}+1)(y^{2}+1)} \right| =\left| \frac{xy(y-x)-(-x+y)}{(x^{2}+1)(y^{2}+1)} \right|=\left| \frac{xy(y-x)-(y-x)}{(x^{2}+1)(y^{2}+1)} \right|=\left| \frac{(xy-1)(y-x)}{(x^{2}+1)(y^{2}+1)} \right| =}\)

[mateuszek89]

\(\displaystyle{ |\frac{(xy-1)(y-x)}{(x^2+1)(y^2+1)}| \le |x-y|\cdot |\frac{x^2+y^2+1}{x^2+y^2+x^2y^2+1}| \le |x-y| \cdot 1}\)
\(\displaystyle{ x^2y^2 \ge 0}\) dla każdych \(\displaystyle{ x,y \in R}\) Stąd funkcja ta spełnia warunek Lipschitza ze stałą równą 1. Mam nadzieję, że nigdzie nie namąciłem. Pozdrawiam!