Wykaż równość. Trójkąt prostokątny

[sanderus]

Witam.

Mam za zadanie wykazać następującą równość

\(\displaystyle{ r = \frac{a+b-c}{2}}\)

Gdzie:

\(\displaystyle{ r}\) - promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
\(\displaystyle{ a,b}\) - długości przyprostokątnych
\(\displaystyle{ c}\) - przeciwprostokątna

Równanie takie jest w tablicach maturalnych i za Chiny Ludowe nie mogę go udowodnić. Dochodzę najwyżej do postaci:

\(\displaystyle{ r = \frac{ab}{a+b+c}}\)

[aniu_ta]

obrazek-matematyka.jpg (6.74 KiB) Przejrzano 102 razy

Tu widać, że: \(\displaystyle{ a-r+b-r=c}\)

A to się bierze oczywiście z tw.:
Jeżeli dwie styczne do okręgu przecinają się w punkcie P, to odcinki łączące punkt P z punktami styczności mają tę samą długość.