Wypukłość - kwestia zapisu

[Gothel]

Witam.
Jestem wręcz pewny poprawności mojego zapisu, jednak ktoś poddaje go w wątpliwość dlatego też muszę się upewnić. Zatem

\(\displaystyle{ \forall x \in (a,b) f ^{''}(x) > 0}\) -> f jest wypukła w (a,b)

i w drugą stronę

F jest wypukła w (a,b) -> \(\displaystyle{ \forall x \in (a,b) f ^{''}(x) >=0}\)

Tak samo nawiasem mówiąc jest z ciągiem rosnącym (tylko, że pierwsza pochodna).

Czy jest to (zwłaszcza to drugie ) prawidłowe?

[szw1710]

Trzeba dołożyć założenie dwukrotnej różniczkowalności Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=|x|}\) jest wypukła, ale nie jest różniczkowalna, a co dopiero dwukrotnie.

[erni0407]

F jest wypukła w (a,b) -> \(\displaystyle{ \forall x \in (a,b) f ^{''}(x) >=0}\)

prócz tego co powiedział @szw1710 zmieniłbym znak z \(\displaystyle{ \ge}\) na \(\displaystyle{ >}\)
ponieważ wyzerowana druga pochodna świadczy o pkt. przegięcia.

[szw1710]

prócz tego co powiedział @szw1710 zmieniłbym znak z \(\displaystyle{ \ge}\) na >
ponieważ wyzerowana druga pochodna świadczy o pkt. przegięcia.

Absolutnie nie!!! Zobacz na funkcję wypukłą \(\displaystyle{ f(x)=x^4}\), dla której \(\displaystyle{ f''(0)=0}\). Ta funkcja jest nawet ściśle wypukła, tj.

\(\displaystyle{ f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\) takich, że \(\displaystyle{ x\ne y}\) oraz dla wszystkich \(\displaystyle{ t\in (0,1)}\).

[erni0407]

Przepraszam za wprowadzienie w błąd.
Oczywiście masz racje