hej,
mam takie zadanie:
rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(z)=\frac{4}{z ^{2}-1 }}\) w szereg Laurenta w pierścieniu \(\displaystyle{ 1<\left| z-2\right|<3}\)
Prosiłabym o pomoc w rozwiązaniu, bo niestety nie jestem pewna czy dobrze myślę.
Więc tak:
najpierw rozkładam funkcję na ułamki proste, czyli po przekształceniach wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \frac{4}{z ^{2}-1 }=\frac{4}{(z-1)(z+1)}=\frac{2}{z-1}+\frac{-2}{z+1 }}\)
...i teraz każdy z ułamków rozwijam w szereg:
1)
\(\displaystyle{ \frac{2}{z-1}=2 \cdot \frac{1}{1+z-2}=\frac{2}{z-2} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{1}{z-2})}=\frac{2}{z-2} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1) ^{n} }{(z-2)^{n}}=2\cdot\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1) ^{n} }{(z-2)^{n+1}}}\)
bo \(\displaystyle{ \left|\frac{1}{z-2} \right|<1}\)
2)
\(\displaystyle{ \frac{-2}{z+1}=-2 \cdot \frac{1}{3+z-2}=\frac{-2}{3} \cdot \frac{1}{1-(-\frac{z-2}{3})}=\frac{-2}{3} \cdot \sum_{n=0}^{ \infty } (-1) ^{n} \cdot \frac{(z-2)^{n}}{3^{n}}=-2\cdot\sum_{n=0}^{ \infty } (-1) ^{n} \cdot \frac{(z-2)^{n}}{3^{n+1}}}\)
bo \(\displaystyle{ \left|\frac{z-2}{3} \right|<1}\)
...teraz sumuję otrzymane wyniki i to wszystko?
Bardzo proszę o jakieś wskazówki i sprawdzenie...