[Nierówności] Nierówność, II etap OM.

[ElusiveN]

Dla dodatnich.

\(\displaystyle{ \left( a-ac+1\right) ^2 + \left( b-ba+1\right)^2 + \left( c-cb+1\right)^2 \ge 3}\) dla \(\displaystyle{ abc=1}\)

Była na drugim etapie, a nie zrobiłem - wzorcówek nigdzie nie ma.

[justynian]

klasyczne podstawienie, na om-ach rejonowych są różne zadania w każdym rejonie?! Ja takiego zadania nie robiłem chyba że już nie pamiętam...

[ElusiveN]

Dzisiaj to zadanie było xd

[Mejczus]

Tak na szybko

Ukryta treść:    

Standardowe podstawienie \(\displaystyle{ a= \frac{x}{y}}\)\(\displaystyle{ b= \frac{y}{z}}\)\(\displaystyle{ c= \frac{z}{x}}\). Oznaczamy sumę \(\displaystyle{ x + y + z =S}\) i dostajemy:
\(\displaystyle{ ( \frac{S-x}{x})^{2} + (\frac{S-z}{z})^{2} + (\frac{S-y}{y})^{2} \ge 3}\)
\(\displaystyle{ ( \frac{S}{x} - 1)^{2} + (\frac{S}{z}-1)^{2} + (\frac{S}{y} - 1)^{2} \ge 3}\)
Podnosimy do kwadratu, redukujemy trójkę, dzielimy obustronnie przez \(\displaystyle{ S}\), przerzucamy minusy na prawą stronę przemnażamy przez \(\displaystyle{ (xyz) ^{2}}\) i z Muirheda dla \(\displaystyle{ T[3,2,0] \ge T[2,2,1]}\) wychodzi

[KPR]

Coś chyba masz nie tak, bo dla \(\displaystyle{ x=y=z}\) powinna być równość.

[Mejczus]

Coś chyba masz nie tak, bo dla \(\displaystyle{ x=y=z}\) powinna być równość.

A widzisz, masz rację, na szybko robiłem i powinno być \(\displaystyle{ S-2x}\), nie \(\displaystyle{ S-x}\)