Ciągła surjekcji

[petitesouris]

Przykład ciągłej surjekcji \(\displaystyle{ f:\RR^{2}\to[0,1)}\).

[lukasz1804]

Może warto wykorzystać funkcję arcus tangens? Przekształca ona zbiór liczb rzeczywistych na przedział ograniczony.

Propozycja:    

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2}{\pi}\arctan|x|}\)

[petitesouris]

Ale to nie jest \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) w \(\displaystyle{ [0,1)}\)

-- 19 lut 2011, o 13:48 --

prosze pomocy, za 15 konczy mi sie egzamin ostatniej szansy

[lukasz1804]

Złożenie surjekcji jest surjekcją. Zatem wystarczy jeszcze znaleźć surjektywne odwzorowanie \(\displaystyle{ g}\) między \(\displaystyle{ \RR^2}\) i \(\displaystyle{ \RR}\). A to nie jest trudne, można przyjąć rzutowanie \(\displaystyle{ g(x,y)=x}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in \RR^2}\).

Po złożeniu otrzymamy funkcję postaci \(\displaystyle{ (f\circ g)(x,y)=f(g(x,y))=f(x)=\frac{2}{\pi}\arctan|x|}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in \RR^2}\).
Treść poprawiona (19. lutego 2011, godz. 13.56)

[Jan Kraszewski]

Po złożeniu otrzymamy funkcję postaci \(\displaystyle{ (f\circ g)(x,y)=f(g(x,y))=f(x)=\arctan|x|}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in R^2}\).

Zgubiłeś \(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}}\).

JK