udowodnić, że jeż z kolcami jest przestrzenią spójną

petitesouris · Post autor: **petitesouris** » 18 lut 2011, o 13:59

Wykazać, że każdy jeż \(\displaystyle{ J_{\alpha}}\) z \(\displaystyle{ \alpha}\) kolcami jest przestrzenią spójną i lokalnie spójną

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 18 lut 2011, o 14:40

Chyba widziałem to w książce Dudy "Wprowadzenie do topologii". Zobacz też Engelking, Sielkucki "Topologia" i Engelking "Topologia ogólna", ale w tej ostatniej chyba nie ma.

Ein · Post autor: **Ein** » 18 lut 2011, o 15:07

Co to jest jeż \(\displaystyle{ J_\alpha}\) z \(\displaystyle{ \alpha}\) kolcami?

Post autor: **scyth** » 18 lut 2011, o 15:47

Ein · Post autor: **Ein** » 18 lut 2011, o 16:38

Aha, no to spójność wynika wprost z łukowej spójności, która akurat jest oczywista.

Lokalna spójność jest jasna poza punktem \(\displaystyle{ 0}\). Ale w zerze można skorzystać z lokalnej spójności odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\). Oto szybki szkic (dużo trzeba tu dopowiedzieć, a na pewno rozumieć jak wygląda topologia ilorazowa!):

\(\displaystyle{ U}\) - dowolny otwarty zawierający \(\displaystyle{ 0}\)
Z konstrukcji (ściślej: z określenia topologii ilorazowej) wynika, że \(\displaystyle{ U}\) możemy utożsamić z pewnym \(\displaystyle{ U'=\bigcup_\alpha U_\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ U\alpha}\) jest otwarty w \(\displaystyle{ [0,1]\times\{\alpha\}}\) i zawiera punkt \(\displaystyle{ (0,\alpha)}\) (punkt ten nazwijmy \(\displaystyle{ \alpha}\)-zerem). Na mocy lokalnej spójności odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\) istnieje zbiór spójny otwarty \(\displaystyle{ V_\alpha\subseteq U_\alpha}\) zawierający \(\displaystyle{ \alpha}\)-zero.

Niech teraz \(\displaystyle{ V'=\bigcup_\alpha V_\alpha}\). W myśl konstrukcji topologii na jeżu istnieje odpowiadający \(\displaystyle{ V'}\) zbiór spójny otwarty \(\displaystyle{ V}\) zawierający \(\displaystyle{ 0}\) (stąd ta spójność). Oczywiście, \(\displaystyle{ V\subseteq U}\), co dowodzi lokalnej spójności jeża.

petitesouris · Post autor: **petitesouris** » 18 lut 2011, o 17:22

a możesz rozwinąć trochę ten szkic?

Ein · Post autor: **Ein** » 18 lut 2011, o 19:41

A możesz powiedzieć, z czym konkretnie masz problem?

Tutaj potrzeba jedynie znajomości pojęcia topologii ilorazowej. Rysunek również może się przydać.

petitesouris · Post autor: **petitesouris** » 18 lut 2011, o 20:04

ogólnie to z topologią bo mamy to sami opracować i nie było topologii ilorazowej więc chciałabym wiedzieć jak udowodnić tą lokalną spójność.

Ein · Post autor: **Ein** » 18 lut 2011, o 20:47

To jest kupa teorii. Zajrzyj do książek, tytuły masz podane wyżej.

petitesouris · Post autor: **petitesouris** » 18 lut 2011, o 21:03

i co mam samą teorie napisać? nie ma jakiegoś dowodu?

Ein · Post autor: **Ein** » 18 lut 2011, o 21:20

Teorię masz przeczytać i zrozumieć. Jak już to zrobisz, to przeczytasz szkic dowodu, który Ci napisałem powyżej i uzupełnisz go sama o brakujące szczegóły. Ewentualnie zapytasz o fragmenty, których nie rozumiesz. Przykro mi, ale nikt za Ciebie zadań domowych odrabiać nie będzie (ani na pewno nie będzie przepisywać tu teorii, którą powinnaś umieć). Poza tym polecam konsultacje u prowadzącego.