Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Skoro \(\displaystyle{ xyz=1}\), to możemy podstawić: \(\displaystyle{ x=\frac{a}{b}}\), \(\displaystyle{ y=\frac{b}{c}}\), \(\displaystyle{ z=\frac{c}{a}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) są dowolne dodatnie (wiem, że kolizja oznaczeń, ale już mi literek brakuje )
Sumując trzy takie nierówności dla odpowiednio liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\); \(\displaystyle{ b,c,a}\) oraz \(\displaystyle{ c,a,b}\) i skracając przez trzy, dostaniemy:
Lemat: \(\displaystyle{ (x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy) \ge xyz(x+y)(y+z)(z+x)}\)
Po wymnożeniu i skróceniu czego się da i pomnożeniu przez 2 otrzymujemy: \(\displaystyle{ T\left[4,1,1 \right] +T\left[3,3,0\right]\ge 2T\left[3,2,1\right]}\), co jest prawdą za sprawą Muirheada, bo \(\displaystyle{ (4,1,1) \succ (3,2,1)}\) i \(\displaystyle{ (3,3,0) \succ (3,2,1)}\).
Podstawmy sobie \(\displaystyle{ a = \frac{x}{y}}\),\(\displaystyle{ b = \frac{y}{z}}\), \(\displaystyle{ c = \frac{z}{x}}\), mamy: \(\displaystyle{ \sum_{cyc} \sqrt{\frac{a+b}{a+1}} = \sum_{cyc} \sqrt{\frac{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}}{\frac{x}{y}+1}} =\sum_{cyc} \sqrt{\frac{y^2+zx}{zx+yz}} = \sum_{cyc} \sqrt{\frac{y^2+zx}{z(x+y)}} \geq 3\sqrt[6]{ \frac{(x^2+yz)(y^2+zx)(z^2+xy)}{xyz(x+y)(y+z)(z+x)} } \geq 3}\)
Liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\) spełniają warunek: \(\displaystyle{ m^m+n^n=m^n+n^m}\).
Wykaż, że \(\displaystyle{ m=n}\).
Idzie z nierówności o permutacjach z funkcją dla \(\displaystyle{ f(x,y)=x^y}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{ \partial^2f}{ \partial x \partial y} = x^{y-1}+yx^{y-1}lnx \ge 0}\)
oraz ciągi \(\displaystyle{ (m,n)}\) oraz \(\displaystyle{ (m,n)}\) są jednakowo uporządkowane to zachodzi \(\displaystyle{ m^m + n^n \ge m^n+n^m}\) z równością w wypadku, gdy \(\displaystyle{ m=n}\)
Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) będą liczbami całkowitymi spełniającymi warunki a>b>c>d>0. Zakładamy, że \(\displaystyle{ ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).}\) Dowieść, że \(\displaystyle{ ab+cd}\) nie jest liczbą pierwszą.
Zadanie z MOM, więc może nie pójść od ręki
Ostatnio zmieniony 17 lut 2011, o 01:11 przez Virtuozo, łącznie zmieniany 1 raz.
ElusiveN, trochę namieszałeś. Z tego, że \(\displaystyle{ f'(x) \ge 0}\) nie wynika, że funkcja jest rosnąca. Dużo wygodniej byłoby ci założyć \(\displaystyle{ m>n}\) i dojść do sprzeczności z równaniem.
Dwa się pojawiły, ale moje jest najelementarniejsze, więc chyba nic się nie stanie jak zamieszczę
Ukryta treść:
Załóżmy nie wprost, ze \(\displaystyle{ m>n}\). \(\displaystyle{ m^m - m^n = n^m - n^n\\
m^n(m^{m-n}-1) = n^n(n^{m-n}-1)\\
\frac{m^n}{n^n} = \frac{n^{m-n}-1}{m^{m-n}-1}\\}\)
Zatem \(\displaystyle{ n^{m-n} > m^{m-n}}\), co daje sprzeczność. Zatem, ze względu na symetrię, m = n.
tkrass, wydaje mi się, że wszystko jest dobrze. Żeby było jeszcze jaśniej i funkcja nie stawała się w pewnym momencie stała, można założyć, że \(\displaystyle{ m>n}\) i wtedy faktycznie nie będzie wątpliwości.
Coś cicho dziś, a ufam, że kto będzie chciał odpowiedź do zadania Świstaka to sobie na stronie OM sprawdzi.
Zad.
Znaleźć wszystkie postępy arytmetyczne pięciowyrazowe o różnicy 42 utworzone z liczb pierwszych.
madafaka ma być?
Obowiązujące zadanie:
Swistak pisze:
W przestrzeni danych jest 257 punktów \(\displaystyle{ A_1, A_2, ..., A_{257}}\), przy czym żadne 4 nie są współpłaszczyznowe. Każdą parę punktów połączono odcinkiem jednego z kolorów: kanarkowego, wróblowego, ziębowego, drozdowego, albo jeszcze jakiegośtam, którego nie pamiętam. Udowodnij, że istnieją takie \(\displaystyle{ 1 \le i<j<k<l \le 257}\), że łamana \(\displaystyle{ A_i A_j A_k A_l}\) jest jednego koloru. (To zadanie z 2 meczu Zwardonia 06, ale proszę się nie przestraszyć ;p)
Każdemu punktowi \(\displaystyle{ A_{i}}\) przypisujemy piątkę liczb \(\displaystyle{ ( k_{i} ,z_{i},d_{i},w_{i},g_{i})}\), długości najdłuższych
jednokolorowych łamanych o rosnących indeksach wierzchołków, zaczynających
się w \(\displaystyle{ a_{i}}\). Zauważmy, że dla różnych elementów i<j te piątki są rózne. Skoro
mamy \(\displaystyle{ 257 > 3^5}\), to istnieje takie i, że wsród liczb \(\displaystyle{ k_{i} ,z_{i},d_{i},w_{i},g_{i}}\) występuje liczba
wieksza od \(\displaystyle{ 3}\).
Skoro tak bardzo Ci to do życia potrzebne... ;P
Zwykle jestem przeciwnikiem metody ctrl-c=ctrl-v, ale mogłeś zauważyć, że między czasie poszły 3 inne zadania. Zgadzam się, że ciąg był łatwy; pewnie podobnie jak nierówność lecąca na jednego hita z Muirheada, albo coś w tym stylu, których zadań przewija się multum, jednak mimo wszystko mogą mieć jakieś tam walory edukacyjne. Nie widzę zatem powodu, dla którego miałbym być bojkotowany ;P
Ja piedzielę, w ogóle co to za chamstwo i burżujstwo się panoszy? Człowiek kmini bardzo zabawne zadanie, następnego dnia chcę się tym podzielić z innymi, a tu mu się wpieprzają z innym zadaniem, bo przecież łańcuszek jest do kolekcjonowania jak największego zbioru zadań z rozwiązaniami, a do tego można przepisać ze strony OMa, więc po co w ogóle kminić i się zatrzymywać?
No dopsz, już się tak nie spinam, ale żeby mi to było ostatni raz, takie chamskie wepchnięcie się w kolejkę .
To w takim razie chyba teraz aktualne jest tamto zadanie z IMO, ale przecież rozw. se można sprawdzić na Mathlinksie, to możemy je pominąć ;p.
Swistak pisze:
To w takim razie chyba teraz aktualne jest tamto zadanie z IMO, ale przecież rozw. se można sprawdzić na Mathlinksie, to możemy je pominąć ;p.
Jeśli chcesz Zgadzam się co do tego, że jakby każdy wklejał zadania bez uprzedniego podania odpowiedzi przez kogokolwiek to zrobiłby się bajzel. Rączka na zgodę - ciesz się lepiej Świstaku, że Ci II etap dobrze poszedł (z tego co czytałem); spinać się nie warto
