Nierówność z funkcją cyklometryczną - mały problem

[Mariano3]

Witam,

Mam taką nierówność:
\(\displaystyle{ \arccos \left[ \left( \frac{1}{2} \right) ^{X} -1 \right]< \frac{2}{3}\pi}\)

I tutaj wykonuję następujące działanie:
\(\displaystyle{ -1 \le \left( \frac{1}{2} \right) ^{X} -1 \le 1}\)

z tego otrzymuję, że \(\displaystyle{ x\in(- \infty ,-1> \cup <0, \infty )}\)

I teraz trzeba się odnieść jakoś do całości, tylko właśnie nie pamiętam jak, a notatki gdzieś mi przepadły . Naprowadzi mnie ktoś na to ?

[florek177]

1.
z nierówności ( dziedzina ) wynika, że: \(\displaystyle{ \,\,\, x \ge -1 \,\,\,}\) - ( policz jeszcze raz )

2.
\(\displaystyle{ cos(\frac{2}{3} \pi) < (\frac{1}{2})^{x} - 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} < (\frac{1}{2})^{x} - 1 \Rightarrow x < 1}\)

3. \(\displaystyle{ -1 \le x < 1}\)

[Mariano3]

Aaa, to już wiem jak się za to zabierać. Dzięki za przypomnienie

A co do mojego błędu:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{X} \le \left( \frac{1}{2} \right) ^{-1}}\)

zmieniam tutaj znak, bo funkcja jest malejąca, tak ?

_______________________________________________________
W tym zadaniu mam gdzieś błąd, lecz nie potrafię go znaleźć:
\(\displaystyle{ \arcsin\left( \frac{x}{2} -3\right) < - \frac{\pi}{4}}\)


\(\displaystyle{ \frac{x}{2} -3 \le 1 \quad \wedge \quad \frac{x}{2} -3 \ge -1 \\ \frac{x}{2} \le 4 \quad \ \ \ \ \ \wedge \quad \frac{x}{2} \ge 2 \\ x \le 8 \quad \ \ \ \ \ \ \wedge \quad x \ge 4}\)


\(\displaystyle{ \sin\left( - \frac{\pi}{4} \right) < \frac{x}{2} -3 \\ - \frac{ \sqrt{2} }{2} < \frac{x}{2} -3 \\ - \sqrt{2} +6 < x \Rightarrow x > 6 - \sqrt{2}}\)


I wychodzi mi wynik : \(\displaystyle{ x \in \left(6 - \sqrt{2}, 8 \right> \\}\) a powinno być \(\displaystyle{ x \in \left<4, 6 - \sqrt{2}\right)}\)

[florek177]

z jakiejś własności trzeba zmienić znak, ale dzisiaj nie mam głowy - musiałbym poczytać bo nie pamiętam. Może w weekend ?

[Mariano3]

Jasne, mogę poczekać. Chyba, że ktoś inny rzuci okiem ?

[sigmaIpi]

tak, to wynika z monotoniczności funkcji wykładniczej.

A błąd zrobiłeś na samym początku, nierówność jest w drugą stronę.

\(\displaystyle{ \sin\left( - \frac{\pi}{4} \right) > \frac{x}{2} -3}\)

[Mariano3]

Ok, tylko dlaczego w drugą stronę ?

[florek177]

funkcja \(\displaystyle{ \,\,\, arcsin(X) \,\,\,}\) jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ 4 \le x \le 8 \,\,\,}\); jej wartości są mniejsze od \(\displaystyle{ \,\, ( - \frac{\pi}{4}) \,\,\,}\) na lewo od punktu przecięcia.

prosta \(\displaystyle{ \,\, (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \,\,\,}\) musi być nad prostą \(\displaystyle{ y(x) = \frac{x}{2} - 3}\)