Ukryta treść:
Więc
\(\displaystyle{ p,q \neq 2,5}\). Z MTF: \(\displaystyle{ 5 ^{p} =5 (mod p), 2 ^{p} =2 (p)}\). Analogicznie dla q. Więc
\(\displaystyle{ 5 ^{p} -2 ^{p} =3 (p), 5 ^{q} -2 ^{q} =3 (q)}\). Tak więc \(\displaystyle{ p|5 ^{p} -2 ^{p} \Leftrightarrow p=3.}\) Dla p=3 łatwo znajdujemy, że q=3 lub q=13 lub \(\displaystyle{ q|5 ^{q} -2 ^{q}}\) , a ta ostatnia możliwość analogicznie doprowadza nas do wniosku, że q=3. Dla q=3 przeprowadzamy analogiczne rozumowanie. Mamy więc juz pary (p,q)=(3,3), (p,q)=(3,13), (p,q)=(13,3). Załóżmy więc, że
\(\displaystyle{ p,q \neq 3}\). Wtedy p nie dzieli \(\displaystyle{ 5 ^{p} -2 ^{p}}\) oraz q nie dzieli \(\displaystyle{ 5 ^{q} -2 ^{q}}\). Tak, więc
\(\displaystyle{ p|5 ^{q} -2 ^{q}, q|5 ^{p} -2 ^{p}}\). Tak więc \(\displaystyle{ 5 ^{q} =2 ^{q} (mod p)}\) oraz z MTF:
\(\displaystyle{ 5 ^{p-1} =2 ^{p-1} (p)}\) . Niech k będzie najmniejszą taką liczbą naturalną, że \(\displaystyle{ 5^{k} =2 ^{k} (p)}\) Wówczas jeśli n jest taką liczbą, że
\(\displaystyle{ 5 ^{n} =2 ^{n} (p)}\) to k|n. Dowód: Załóżmy że tak nie jest, czyli n=ak+r dla r>0. Wtedy \(\displaystyle{ 2 ^{ak+r} =5 ^{ak+r}=5 ^{ak} \cdot 5 ^{r} =2 ^{ak} \cdot 5 ^{r} (p).}\) Stąd
\(\displaystyle{ 2 ^{ak} (5 ^{r} -2 ^{r})=0 (p)}\), (2,p)=1, więc \(\displaystyle{ 5 ^{r} -2 ^{r} =0}\), więc
\(\displaystyle{ 5 ^{r} =2 ^{r}}\) , a to już jest sprzeczność, bo r jest resztą z dzielenia przez k, więc r<k, co przeczy założeniu że k jest najmniejsze. Z udowodnionego powyżej twierdzenia wynika, że k|q oraz k|p-1. Jako że q jest liczbą pierwsza, więc k=1 lub q. jeden odrzucamy,gdyż wtedy 2=5 (p),
czyli 3=0 (p). Tak więc k=q, tak więc q|p-1. Analogicznie dowodzimy, że p|q-1. Żadko zdarza się, aby warunki p|q-1, q|p-1 zachodziły równocześnie, gdyż wtedy \(\displaystyle{ p \le q-1, q \le p-1}\), więc
\(\displaystyle{ p \le q-1<q \le p-1}\), więc p<p-1. Sprzeczność
\(\displaystyle{ p,q \neq 2,5}\). Z MTF: \(\displaystyle{ 5 ^{p} =5 (mod p), 2 ^{p} =2 (p)}\). Analogicznie dla q. Więc
\(\displaystyle{ 5 ^{p} -2 ^{p} =3 (p), 5 ^{q} -2 ^{q} =3 (q)}\). Tak więc \(\displaystyle{ p|5 ^{p} -2 ^{p} \Leftrightarrow p=3.}\) Dla p=3 łatwo znajdujemy, że q=3 lub q=13 lub \(\displaystyle{ q|5 ^{q} -2 ^{q}}\) , a ta ostatnia możliwość analogicznie doprowadza nas do wniosku, że q=3. Dla q=3 przeprowadzamy analogiczne rozumowanie. Mamy więc juz pary (p,q)=(3,3), (p,q)=(3,13), (p,q)=(13,3). Załóżmy więc, że
\(\displaystyle{ p,q \neq 3}\). Wtedy p nie dzieli \(\displaystyle{ 5 ^{p} -2 ^{p}}\) oraz q nie dzieli \(\displaystyle{ 5 ^{q} -2 ^{q}}\). Tak, więc
\(\displaystyle{ p|5 ^{q} -2 ^{q}, q|5 ^{p} -2 ^{p}}\). Tak więc \(\displaystyle{ 5 ^{q} =2 ^{q} (mod p)}\) oraz z MTF:
\(\displaystyle{ 5 ^{p-1} =2 ^{p-1} (p)}\) . Niech k będzie najmniejszą taką liczbą naturalną, że \(\displaystyle{ 5^{k} =2 ^{k} (p)}\) Wówczas jeśli n jest taką liczbą, że
\(\displaystyle{ 5 ^{n} =2 ^{n} (p)}\) to k|n. Dowód: Załóżmy że tak nie jest, czyli n=ak+r dla r>0. Wtedy \(\displaystyle{ 2 ^{ak+r} =5 ^{ak+r}=5 ^{ak} \cdot 5 ^{r} =2 ^{ak} \cdot 5 ^{r} (p).}\) Stąd
\(\displaystyle{ 2 ^{ak} (5 ^{r} -2 ^{r})=0 (p)}\), (2,p)=1, więc \(\displaystyle{ 5 ^{r} -2 ^{r} =0}\), więc
\(\displaystyle{ 5 ^{r} =2 ^{r}}\) , a to już jest sprzeczność, bo r jest resztą z dzielenia przez k, więc r<k, co przeczy założeniu że k jest najmniejsze. Z udowodnionego powyżej twierdzenia wynika, że k|q oraz k|p-1. Jako że q jest liczbą pierwsza, więc k=1 lub q. jeden odrzucamy,gdyż wtedy 2=5 (p),
czyli 3=0 (p). Tak więc k=q, tak więc q|p-1. Analogicznie dowodzimy, że p|q-1. Żadko zdarza się, aby warunki p|q-1, q|p-1 zachodziły równocześnie, gdyż wtedy \(\displaystyle{ p \le q-1, q \le p-1}\), więc
\(\displaystyle{ p \le q-1<q \le p-1}\), więc p<p-1. Sprzeczność
