Oblicz pole obszaru ograniczonego przez krzywą

[erni0407]

Oblicz pole obszaru ograniczonego przez krzywą:
\(\displaystyle{ (x^2+y^2)^2=4xy}\)

Do całego zadania zabieram się tak:
\(\displaystyle{ x=r\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin \alpha}\)

więc:

\(\displaystyle{ (r^2(\cos \alpha )^2+r^2(\sin \alpha )^2)^2=4r^2\cos \alpha \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ (r^2((\cos \alpha )^2+(\sin \alpha )^2)^2=4r^2\cos \alpha \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ r^4=4r^2\cos \alpha \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ r^2=4\cos \alpha \sin \alpha}\)

wyznaczam granice całkowania:
\(\displaystyle{ \cos \alpha \sin \alpha >0}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in (0, \frac{ \pi }{2} ) \cup (\pi, \frac{3 \pi }{2})}\)

czyli szukane pole:
\(\displaystyle{ D=\frac{1}{2}(\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } 4 \cdot \cos \alpha \sin \alpha d \alpha + \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} 4 \cdot \cos \alpha \sin \alpha d \alpha ) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) = 2}\)

zgadza się, czy jest gdzieś błąd?
z tego co mówili mi znajomi powinno wychodzić 1, ale nie widze u siebie błędu.

[okon]

Ja tego już dobrze nie pamietam, i nie chce Ci mieszać, ale czy nie musisz wyznaczyc granicy dla 'r'?

[erni0407]

Ja tego już dobrze nie pamietam, i nie chce Ci mieszać, ale czy nie musisz wyznaczyc granicy dla 'r'?

\(\displaystyle{ r^2=4\cos \alpha \sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ r _{1} =2 \sqrt{\cos \alpha \sin \alpha} \cup r _{2} =-2 \sqrt{\cos \alpha \sin \alpha}}\)

\(\displaystyle{ r>0}\)

\(\displaystyle{ r _{2}}\) nigdy nie będzie większe od zera, a żeby \(\displaystyle{ r _{1}}\) było większe od zera, to:

\(\displaystyle{ \sqrt{\cos \alpha \sin \alpha}>0}\) ,więc \(\displaystyle{ \cos \alpha \sin \alpha>0}\)

[okon]

bardziej miałem na mysli:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ r \in (0;2 \sqrt{\cos \alpha \sin \alpha} )}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in (0, \frac{ \pi }{2} ) \cup (\pi, \frac{3 \pi }{2})}\)

\(\displaystyle{ S1=\int_{0}^{2 \sqrt{\cos \alpha \sin \alpha}}rdr \int_{0}^{\frac{ \pi }{2}} d\alpha}\)

\(\displaystyle{ S2=\int_{0}^{2 \sqrt{\cos \alpha \sin \alpha}}rdr \int_{\pi}^{\frac{ 3\pi }{2}} d\alpha}\)

\(\displaystyle{ S= S1+S2}\)

No i z tego wychodzi 1.


pozdrawiam.

[erni0407]

mnie znowu wychodzi 2 ;p

\(\displaystyle{ S_{1}= \int_{0}^{\frac{ \pi }{2} } 2cos \alpha sin \alpha d \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ S_{2}}\) wychodzi mi też równe 1

mógłbyś mi wytłumaczyć jak to rozpisałeś?

[okon]

Robisz po prostu bład w pierwszej całce.

masz tam r.
Całka z r to \(\displaystyle{ \frac{r^2}{2}}\)

po uwzględnieniu granic całkowania mamy:

\(\displaystyle{ \frac{4sinxcosx}{2}=2sinxcosx=sin2x}\)

następnie całka sin2x to:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} cos2x}\)

No i podstaw sobie odpowiednie granice dolne i górne i masz S1.
S2 robisz tak samo, tylko że granice dla kąta inne.

Sory że tak chaotycznie ale spiesze sie na meczyk

VeB!

pozdro

[erni0407]

hehe... rozumiem, że meczyk ważna sprawa
już wiem o co Ci chodzi i rzeczywiście jak zamienie na \(\displaystyle{ sin2x}\) to wychodzi ładnie, ale jak wezme całke z \(\displaystyle{ 2sinxcosx}\) to wychodzi mi źle ;p
w każdym bądź razie dzięki za rozwikłanie problemu

Pozdro - mimo iż ja kibicowałem Arsenalowi