Zbadaj zbieżność szeregu

ola_opo · Post autor: **ola_opo** » 16 lut 2011, o 16:47

Witam. Mam problem ze zbadaniem zbieżności jednego szeregu. Należy to wykonać na podstawie definicji i w przypadku zbieżności tego szeregu należy również obliczyć jego sumę.
Szereg wygląda następująco:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)}\)

ardianmucha · Post autor: **ardianmucha** » 16 lut 2011, o 17:10

Spróbuj od różnicy sum: \(\displaystyle{ S_{2n} - S_{n}}\)

ola_opo · Post autor: **ola_opo** » 16 lut 2011, o 17:13

A co przez to uzyskam? tzn co mi to da obliczenie takiej różnicy? Dopiero miałam pierwsze zajęcia z szeregów. Niby mniej więcej już rozumiem o co chodzi w nich ale widocznie nie do końca wszystko

Post autor: **Chromosom** » 16 lut 2011, o 17:15

\(\displaystyle{ \ln\left(1+\tfrac1n\right)=\ln(n+1)-\ln n}\)

ardianmucha · Post autor: **ardianmucha** » 16 lut 2011, o 17:19

\(\displaystyle{ S_{2n} - S _{n} = \ln2 + \ldots + \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) + \ln \left( 1+ \frac{1}{n+1} \right) + \ldots + \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right) - \left( \ln2 + \ldots + \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) \right) = \ln \left( 1+ \frac{1}{n+1} \right) + \ldots + \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right) > \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right) + \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right) + \ldots + \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right) = n \cdot \ln \left( 1+ \frac{1}{2n} \right) \rightarrow \frac{1}{2}}\)

Zatem \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) = \infty}\)

ola_opo · Post autor: **ola_opo** » 16 lut 2011, o 18:05

Dziękuję za chęci. Ale dalej jakoś to dla mnie jest tajemnicze skąd to wszystko się wzięło ;/ .

Post autor: **Chromosom** » 16 lut 2011, o 18:13

ardianmucha pisze:W następnym kroku zastosowałem regułę d'Hospitala

to istnieje dla ciagow takie cos? pokaz

-- 16 lutego 2011, 18:13 --

ola_opo, z tego co napisalem od razu widac ze rozbiezny jest

ardianmucha · Post autor: **ardianmucha** » 16 lut 2011, o 18:16

Ciąg jest funkcją z N w R.

Post autor: **Chromosom** » 16 lut 2011, o 18:19

zdefiniuj pojecie pochodnej tej funkcji

ola_opo · Post autor: **ola_opo** » 16 lut 2011, o 18:22

Ale ja muszę w jakiś sposób to udowodnić że właśnie jest rozbieżny. Chociażby napisać z jakiego twierdzenia czy kryterium skorzystałam. Bo tak kiedy rozpiszę ten szereg to nie widzę na pierwszy rzut oka dlaczego akurat rozbieżny ;/

Post autor: **Chromosom** » 16 lut 2011, o 18:25

rozpisac wszystkie wyrazy i kolejne wyrazy beda sie odejmowac

ardianmucha · Post autor: **ardianmucha** » 16 lut 2011, o 18:45

Słyszałeś o definicji Heinego?

Najpierw rozważamy odpowiednią funkcję, a potem wracamy do ciągu.

Jednak nie zauważyłem, że tą granicę można prościej obliczyć (wiele osób twierdzi, że lubię utrudniać) - mianowicie:
\(\displaystyle{ n \cdot ln\left( 1+ \frac{1}{2n} \right) = ln\left( 1+ \frac{1}{2n} \right) ^{n} \rightarrow \frac{1}{2}}\)

Aha, w moim rozumowaniu wykorzystałem warunek (nie kryterium) Cauchy'ego.

ola_opo · Post autor: **ola_opo** » 16 lut 2011, o 18:59

Dodałam wyrazy się skróciły i wyszło, że rozbieżny! także dziękuję bardzo za wskazówki