Witam, mam problem z kilkoma całkami. Prosze o podpowiedz jak je rozwiązać.
\(\displaystyle{ 7. \int \frac{x}{ e^{ x^{2} } }dx}\)
\(\displaystyle{ 9. \int \sqrt{x} \cdot arcsin\sqrt{x} dx}\)
\(\displaystyle{ 11. \int e^{x} \cdot sinx dx}\)
\(\displaystyle{ 15. \int \frac{1}{ 2^{x}+1 } dx}\)
całka nieoznaczona - przykłady
całka nieoznaczona - przykłady
Ostatnio zmieniony 16 lut 2011, o 17:02 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
całka nieoznaczona - przykłady
\(\displaystyle{ 7. \int \frac{x}{ e^{ x^{2} } }dx (t= x^{2} ;\frac{1}{2} dt= x dx)
= \frac{1}{2} \int \frac{1}{ e^{t} }dt( e^{t}=z; dt= \frac{dz}{z})
= \frac{1}{2} \int \frac{1}{ z^{2} }dz
=\frac{1}{2} \int z^{-2}
=-\frac{1}{2}z^{-1}
=-\frac{1}{2} \frac{1}{ e^{ x^{2} } }
=-\frac{1}{ 2e^{ x^{2} } }+c}\)
Czy poprawnie rozwiązałem?
Wpadłem też na pomysł rozwiązania 9. ale nie wiem czy dobrze, proszę o sprawdzenie
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x} \cdot arcsin\sqrt{x} dx(x= t^{2}; dx=2tdt)}\)
\(\displaystyle{ =\int t \cdot arcsint \cdot 2tdt}\)
\(\displaystyle{ =2\int t^{2} \cdot arcsint dt (f(t)=arcsint, f'(t)= \frac{1}{ \sqrt{1- t^{2} } }; g(t)= \frac{1}{3} t^{3}, g'(t)= t^{2})}\)
\(\displaystyle{ =2( \frac{ t^{3} \cdot arcsint }{3}- \frac{1}{3}\int \frac{ t^{3} }{ \sqrt{1- t^{2} } }dt (1- t^{2}= z^{2}; tdt--zdz)}\)
\(\displaystyle{ =2( \frac{ t^{3} \cdot arcsint }{3}+\frac{1}{3}\int -z^{2}+1dz}\)
\(\displaystyle{ = 2( \frac{ t^{3} \cdot arcsint }{3}+ \frac{1}{3}(\int -z^{2}dz+\int1dz)}\)
\(\displaystyle{ = 2( \frac{ t^{3} \cdot arcsint }{3}-\frac{ z^{3} }{9}+\frac{z}{3} )}\)
\(\displaystyle{ =2( \frac{3 \sqrt{x} ^{3} \cdot arcsin \sqrt{x}-\sqrt{1-x} ^{3}+3 \sqrt{1-x} }{9})+c}\)
= \frac{1}{2} \int \frac{1}{ e^{t} }dt( e^{t}=z; dt= \frac{dz}{z})
= \frac{1}{2} \int \frac{1}{ z^{2} }dz
=\frac{1}{2} \int z^{-2}
=-\frac{1}{2}z^{-1}
=-\frac{1}{2} \frac{1}{ e^{ x^{2} } }
=-\frac{1}{ 2e^{ x^{2} } }+c}\)
Czy poprawnie rozwiązałem?
Wpadłem też na pomysł rozwiązania 9. ale nie wiem czy dobrze, proszę o sprawdzenie
\(\displaystyle{ \int \sqrt{x} \cdot arcsin\sqrt{x} dx(x= t^{2}; dx=2tdt)}\)
\(\displaystyle{ =\int t \cdot arcsint \cdot 2tdt}\)
\(\displaystyle{ =2\int t^{2} \cdot arcsint dt (f(t)=arcsint, f'(t)= \frac{1}{ \sqrt{1- t^{2} } }; g(t)= \frac{1}{3} t^{3}, g'(t)= t^{2})}\)
\(\displaystyle{ =2( \frac{ t^{3} \cdot arcsint }{3}- \frac{1}{3}\int \frac{ t^{3} }{ \sqrt{1- t^{2} } }dt (1- t^{2}= z^{2}; tdt--zdz)}\)
\(\displaystyle{ =2( \frac{ t^{3} \cdot arcsint }{3}+\frac{1}{3}\int -z^{2}+1dz}\)
\(\displaystyle{ = 2( \frac{ t^{3} \cdot arcsint }{3}+ \frac{1}{3}(\int -z^{2}dz+\int1dz)}\)
\(\displaystyle{ = 2( \frac{ t^{3} \cdot arcsint }{3}-\frac{ z^{3} }{9}+\frac{z}{3} )}\)
\(\displaystyle{ =2( \frac{3 \sqrt{x} ^{3} \cdot arcsin \sqrt{x}-\sqrt{1-x} ^{3}+3 \sqrt{1-x} }{9})+c}\)
