[Planimetria] Dwie geometrie

[Masu]

1) Niech AC będzie najdłuższym bokiem ABC i niech punkt N naeży do boku AC.
Symetralna odcinka AN przecina AB w K a symetralna odcinka NC przecina BC w M.Pokazać , że punkty K,M,B,O leżą na jednym okręgu , gdzie O - środek okręgu opisanego na ABC.

2) Dany jest równoległobok ABCD oraz punkt P leżący w jego wnętrzu , taki że środek AD jest równoodległy od P i C , a środek CD jest równoodległy od P i A . Niech Q będzie środkiem PB. Udowodnij że <PAQ=<PCQ

[timon92]

2. odbij A względem środka odcinka CD oraz C względem środka AD i kombinuj dalej

[edmundo]

zad 1.
Jeżeli wybierzemy punkt N taki, że będzie rzutem B na AC, to oczywiście B,M,O,K leżą na jednym okręgu.
Jeśli przesuniemy punkt N o 2x, to symetralne odcinków AN i NC przesuną się o równą odległość x.
Oznaczmy przez X środek odcinka AB, a przez Y środek odcinka BC. Wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ \sphericalangle XOK= \sphericalangle YOM}\).
Oznaczmy przez m odległość O od AB, a przez n odległość O od BC oraz przez \(\displaystyle{ \alpha}\) kąt przy wierzchołku A i przez \(\displaystyle{ \beta}\) kąt przy wierzchołku C
\(\displaystyle{ \sphericalangle XOK= \sphericalangle YOM \Leftrightarrow ctg( \sphericalangle XOK)=ctg( \sphericalangle YOM) \Leftrightarrow \frac{mcos \alpha }{x} = \frac{ncos \beta }{x} \Leftrightarrow mcos \beta =ncos \alpha}\)
Tymczasem, jeśli przez R oznaczyć promień okręgu opisanego na ABC, to mamy:
\(\displaystyle{ mcos \alpha =R=ncos \beta}\)

[hafaal]

Zadanie 2.

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie środkiem \(\displaystyle{ AD}\) a \(\displaystyle{ Y}\) środkiem \(\displaystyle{ CD}\), punkty \(\displaystyle{ C', A'}\) odbiciami odpowiednio \(\displaystyle{ C, A}\) względem \(\displaystyle{ X i Y}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ C'X=XC=XP i A'Y=AY=YP}\) zatem kąty \(\displaystyle{ C'PC i APA'}\) są proste. Z tego wynika,że \(\displaystyle{ \angle C'PA=\angle CPA'}\) Ponieważ \(\displaystyle{ C}\) jest środkiem \(\displaystyle{ BA'}\)
to \(\displaystyle{ PA'}\) jest rownoległy do \(\displaystyle{ CQ}\) czyli kąty \(\displaystyle{ CPA' i PCQ}\) są równe. Tak samo pokazujemy,że \(\displaystyle{ \angle C'PA =\angle PAQ}\) czyli \(\displaystyle{ \angle PCQ=\angle PAQ}\)

[Masu]

2. odbij A względem środka odcinka CD oraz C względem środka AD i kombinuj dalej

Kurcze to był mój pierwszy pomysł z tym zadaniem. Lecz gdy narysowałem te odbicia , na kartce zrobił się mały burdel i stwierdziłem że nic z tego nie wyjdzie.
Thx