Wartości parametru alfa - ciąg rosnący

[conseil]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha \in <0;2 \pi >}\) ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest rosnący?

\(\displaystyle{ a_{n} = nsin \alpha -3}\)

--

Funkcja sinus rośnie, gdy \(\displaystyle{ \alpha \in <0; \frac{\pi}{2}>}\), to pewnie dla takich wartości. Tyle że w odpowiedziach mam inaczej, ale nie wiem gdzie zrobiłem błąd.

[mateuszek89]

Aby był rosnący wystarczy aby \(\displaystyle{ \sin \alpha>0}\). Więc teraz wylicz \(\displaystyle{ \alpha}\) w tym przedziale, które to spełniają:)

[conseil]

Ale dlaczego?
Przecież sinus w \(\displaystyle{ < \frac{ \pi }{2}; \pi >}\) maleje?
W odpowiedziach mam \(\displaystyle{ (0; \pi )}\) a to dziwne, bo wtedy ciąg nie byłby w ogóle monotoniczny?

[mateuszek89]

Sprawdź warunek na to kiedy ciąg jest rosnący tzn. \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n>0}\). Wylicz to i się okaże, że \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) musi być większy od 0. Może do końca nie rozumiesz zadania, bo Ty wybierasz sobie \(\displaystyle{ \alpha}\) i wtedy patrzysz czy ciąg jest rosnący. Zauważ, że jak weźmiesz takie \(\displaystyle{ \alpha}\), żeby \(\displaystyle{ \sin \alpha>0}\) to wtedy ciąg musi być rosnący dla każdego \(\displaystyle{ n}\). Bo masz ciąg "\(\displaystyle{ n}\)*coś większego od 0 -3"

[?ntegral]

Warunkiem tego, aby ciąg był rosnący jest:

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n>0}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ ((n+1)\sin{\alpha}-3)-(n\sin{\alpha}-3)>0}\)

Po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ \sin{\alpha}>0, \quad \alpha \in [0;2\pi]}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ \alpha \in [0;\pi]}\)

[Dasio11]

Przedział powinien być otwarty \(\displaystyle{ (\alpha \in (0, \pi ) )}\): dla \(\displaystyle{ \alpha = 0}\) i \(\displaystyle{ \alpha = \pi}\) ciąg jest stały.