[Nierówności] Nierówność - czy zachodzi?

[Desmondo]

Czy taka nierówność zachodzi:
\(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3abc \ge a^{2}b + b^{2}a + b^{2}c + c^{2}b + a^{2}c + c^{2}a}\)
dla a, b, c należących do liczb rzeczywistych dodatnich?
A jeśli tak, to czy da się to udowodnić jakimiś względnie prostymi metodami?

[LisuBB]

[Django]

Kolega wyżej podesłał tylko link - a ja ten temat pozwolę sobie rozwinąć.
Generalnie jest to pewna forma Muirheada (i warto ją zapamiętać!) dla wielomianów symetrycznych:
\(\displaystyle{ T[3,0,0]+T[1,1,1] \ge 2T[2,1,0]}\) - jedna z ładniejszych postaci tej symetrycznej nierówności - to jakby średnia AM-GM połączona z nierównością Muirheada - a że AM-GM to też forma Muirheada, no to mamy coś w rodzaju podwójnego Muirheada - a dowód tej nierówności rzeczywiście idzie przez nierówność Schura - przyjmując w niej - w klasycznej - nie w formie Vornicu-Schura (uogólnionego Schura) wykładnik t=1.

[adriano1992]

\(\displaystyle{ T[3,0,0]+T[1,1,1] \ge 2T[2,1,0]}\)

Dlaczego to zachodzi?

[Django]

Oznaczyłem sobie przez T takie cudo (no w sumie mogłem to wyjaśnić) sumę wszystkich kombinacji stopni na zmienne. Brzydkie wyjaśnienie, ale przykład zilustruje:
\(\displaystyle{ T[3,0,0] = 2(a^3b^0c^0 + b^3a^0c^0 + c^3a^0b^0)}\)
\(\displaystyle{ T[2,1,0] = a^2b + ab^2 + ac^2 + a^2c + b^2c + c^2b}\)
\(\displaystyle{ T[1,1,1] = 6abc}\)

I teraz dochodzimy do postaci: \(\displaystyle{ T[3,0,0]+T[1,1,1] \ge 2T[2,1,0]}\) - która jest równoważna Twojej nierówności. A to już postać nierówności Schura, czyli: \(\displaystyle{ a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \ge 0}\). W lepszym zrozumieniu łączenia Schura i Muirheada polecam tego oto pdfa:

Pzdr

[Vax]

Zawsze można lekko ,,spałować" mamy udowodnić:

\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+3abc -a^2b-ab^2-b^2c-bc^2-a^2c-ac^2 \ge 0}\)

Definiujemy lewą stronę jako \(\displaystyle{ f(a,b,c)}\):

\(\displaystyle{ f(0,b,c) = b^3+c^3-b^2c-bc^2 \ge 0}\)

Dana nierówność jest oczywiście prawdziwa (np z ciągów jednomonotonicznych albo am-gm) i teraz:

\(\displaystyle{ f'_a = 3a^3+3bc-2ab-2ac-b^2-c^2 \\ f'_b = 3b^2+3ac-2ab-2bc-a^2-c^2 \\ f'_c = 3c^2+3ab-2bc-2ac-a^2-b^2}\)

Dodając zostaje do udowodnienia:

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca}\)

Co się np zwija do \(\displaystyle{ \frac{1}{2} ((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2) \ge 0}\)

Pozdrawiam.