Konkurs matematyka.pl - edycja II

[Liga]

Konkurs matematyka.pl

Niezmiernie miło jest nam poinformawać Was drodzy użytkownicy, iż przygotowaliśmy dla Was drugą edycję konkursu. Zadania rozwiązywać można w jednej z trzech kategorii: gimnazjalista, licealista, otwarta.

Regulamin

1. Konkurs trwa od 18:00 08.01.2011 do 23:59 06.02.2011
2. W konkursie mogą brać udział tylko użytkownicy zarejestrowani na forum przed 08.01.2011.
3. Rozwiązane zadania należy nadsyłać w formie prywatnej wiadomości do użytkownika Liga zaznaczając w temacie kategorię, w której użytkownik bierze udział.
4. Każdy uczestnik może nadesłać rozwiązania zadań tylko do jednej kategorii i tylko jeden raz.
5. Skala ocen jest identyczna jak na Olimpiadzie Matematycznej ().
6. Zadania należy rozwiązywać samodzielnie; wszelkie wykryte próby oszustwa spowodują dyskwalifikację nieuczciwych uczestników
7. O uzyskanych wynikach wszyscy uczestnicy zostaną powiadomieni nie później jak 14 dni od końcowej daty nadsyłania rozwiązań.
8. Administratorzy forum nie mogą brać udziału w konkursie.
9. Tzw. firmowe rozwiązania zadań nie zostaną opublikowane.
10. W każdej z kategorii wyłonimy laureatów - cztery osoby z najwyższymi wynikami (w przypadku wyników ex aequo o kolejności zadecyduje data nadesłania rozwiązań). Nagrodami są książki ufundowane przez:
    
    [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/]

    

    AU

    pwn_logo_trojkat.png (9.53 KiB) Przejrzano 1357 razy

    [/url]
    Laureaci będą mogli wybrać po jednej książce z kategorii odpowiadającej kategorii zadaniowej, w kolejności od najlepszego wyniku:
    
    1. Kategoria I - gimnazjalista
       • "Zobaczyć to czego nie widać czyli kultura matematyczna w praktyce", Kordos Marek, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/56763/zobaczyc-to-czego-nie-widac-czyli-kultura-matematyczna-w-praktyce.html]opis[/url].
       • "Okruchy matematyki", Jarosław Górnicki, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/7577/okruchy-matematyki.html]opis[/url].
       • "Orzeł czy reszka?", Hugo Steinhaus, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/34792/orzel-czy-reszka.html]opis[/url].
       • "Logika popularna. Przystępny zarys logiki zdań", Andrzej Grzegorczyk, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/34793/logika-popularna.html]opis[/url].
    2. Kategoria II - licealista
       • "Matematyka. Poradnik encyklopedyczny", Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/4058/matematyka-poradnik-encyklopedyczny.html]opis[/url].
       • "Matematyka a fizyka", Krzysztof Maurin, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/34797/matematyka-a-fizyka.html]opis[/url].
       • "Elementarna teoria liczb", Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/5241/elementarna-teoria-liczb.html]opis[/url].
       • "Tajemnicza liczba i inne sekrety matematyki", Miś Bogdan, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/15785/tajemnicza-liczba-i-inne-sekrety-matematyki.html]opis[/url].
    3. Kategoria III - otwarta
       • "Analiza na rozmaitościach", Michael Spivak, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/4562/analiza-na-rozmaitosciach.html]opis[/url].
       • "Nowoczesne kompendium matematyki", Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/6641/nowoczesne-kompendium-matematyki.html]opis[/url].
       • "Statystyka w zarządzaniu", Amir D. Aczel, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/1371/statystyka-w-zarzadzaniu.html]opis[/url].
       • "Rachunek prawdopodobieństwa Statystyka matematyczna Procesy stochastyczne", Plucińska Agnieszka, Pluciński Edmund, [url=http://ksiegarnia.pwn.pl/produkt/32483/rachunek-prawdopodobienstwa-statystyka-matematyczna-procesy-stochastyczne.html]opis[/url].
    
    Dodatkowo każdy z laureatów będzie mógł wybrać sobie koszulkę matematyka.pl z [url=http://matematyka.cupsell.pl/]listy koszulek[/url], ufundowanych przez właściciela forum, firmę
    
    [url=http://netstel.pl/]

    

    AU

    netstel_logo.gif (1.92 KiB) Przejrzano 1357 razy

    [/url]
11. Laureaci w kategoriach I i II przed otrzymaniem nagrody będą musieli potwierdzić swój status (odpowiednio uczeń gimnazjum, uczeń liceum) przesyłając np. skan legitymacji szkolnej przez Prywatną Wiadomość użytkownikowi [url=http://matematyka.pl/profiles/8570.htm]Liga[/url].
12. Pozostałe kwestie zostaną rozstrzygnięte przez administrację forum.

Zadania

Kategoria I - gimnazjalista

1. Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}}\) takie, że:
   1. \(\displaystyle{ f(\mathbb{R})= \langle 0, +\infty)}\)
   2. \(\displaystyle{ f(f(x))=f(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
   3. \(\displaystyle{ f(-x)=f(x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
2. Znajdź wszystkie trójki \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) liczb rzeczywistych, które spełniają układ:
   \(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=0\\x^3+y^3+z^3=18\\ x^7+y^7+z^7=2058\end{cases}}\).
3. Z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\) zakreślono cyrklem łuk \(\displaystyle{ BD}\).
   Wykaż, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ P}\) tego łuku, jeśli \(\displaystyle{ Q}\) jest jego rzutem prostokątnym na przekątna \(\displaystyle{ BD}\), zaś \(\displaystyle{ R}\) jego rzutem prostokątnym na \(\displaystyle{ BC}\) i wreszcie \(\displaystyle{ S}\) jego rzutem prostokątnym na \(\displaystyle{ CD}\), to \(\displaystyle{ |PQ|^2=|PR| \cdot |PS|}\).
4. Pokaż, że istnieje takie \(\displaystyle{ t>0}\), że dla każdej czwórki liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) spełniających równość \(\displaystyle{ abcd=1}\) zachodzi następująca nierówność:
   \(\displaystyle{ \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}>t}\).
   Czy zbiór dodatnich \(\displaystyle{ t}\), które spełniają powyższą nierówność, przyjmuje wartość największą? Jeśli tak, wskaż ją.
5. Niech \(\displaystyle{ S(n)}\) oznacza sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\). Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ n>1}\) oraz \(\displaystyle{ n \neq 10}\), to istnieje dokładnie jedna liczba całkowita \(\displaystyle{ A \ge 2}\) taka, że: \(\displaystyle{ S(k)+S(A-k)=n}\) dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ k}\) spełniającego nierówność: \(\displaystyle{ 0<k<A}\).

Kategoria II - licealista

1. Udowodnij, że dla pewnego \(\displaystyle{ c>0}\) nierówność: \(\displaystyle{ \left|\sqrt[3]{2} - \frac{m}{n}\right|>\frac{c}{n^3}}\) zachodzi dla wszystkich par liczb całkowitych \(\displaystyle{ m,n}\), przy czym \(\displaystyle{ n \ge 1}\).
2. Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}}\), \(\displaystyle{ f(0) \neq 0}\). Niech \(\displaystyle{ F(x)=f^n(x)}\) (\(\displaystyle{ n}\) - ustalona liczba całkowita, \(\displaystyle{ n \ge 3}\)), gdzie \(\displaystyle{ f^n(x)=\underbrace{f(f(\ldots(f(x))\ldots))}_{n}}\) (n-krotne złożenie funkcji \(\displaystyle{ f}\)). Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ F(0)=0}\), to \(\displaystyle{ F(x)=x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\), dla których funkcja \(\displaystyle{ F}\) jest określona.
3. Niech \(\displaystyle{ n>1}\) będzie liczbą naturalną nieparzystą i \(\displaystyle{ c_1, \ldots, c_n}\) będą dowolnymi liczbami całkowitymi. Dla permutacji \(\displaystyle{ a=(a_1, \ldots, a_n)}\) zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, \ldots, n \}}\) określa się \(\displaystyle{ S(a)=\sum_{i=1}^{n} c_i a_i}\). Wykazać, że istnieją permutacje \(\displaystyle{ a \neq b}\) takie, że \(\displaystyle{ n!}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ S(a)-S(b)}\).
4. W przestrzeni dane są trzy wzajemnie prostopadłe półproste, wychodzące z jednego punktu. Udowodnić, że dowolny trójkąt ostrokątny można umieścić tak, że każdy z jego wierzchołków leży na innej półprostej.
5. Mając dany wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\), skończony ciąg różnych liczb \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_k}\) nazywamy cyklem długości \(\displaystyle{ k}\) dla \(\displaystyle{ P}\) jeśli \(\displaystyle{ P(a_i) = a_{i+1}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le k-1}\) i \(\displaystyle{ P(a_k) = a_1}\). Jeśli wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_i}\) są całkowite, to cykl nazywamy cyklem całkowitym.
   Udowodnij lub obal tezę, że wszystkie wielomiany o współczynnikach całkowitych mają cykl całkowity długości \(\displaystyle{ \ge 2}\).

Kategoria III - otwarta

1. Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją rzeczywistą, dwukrotnie różniczkowalną, spełniającą następującą zależność:
   \(\displaystyle{ f(x) + f''(x) = - x g(x) f'(x)}\)
   gdzie \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{R} : g(x) \ge 0}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |f(x)|}\) jest ograniczona.
2. Niech będzie dana \(\displaystyle{ n}\)-elementowa próbka z rozkładu \(\displaystyle{ N (\mu , 1)}\) o nieznanym parametrze \(\displaystyle{ \mu}\). Zamiast próbki zapisywane jest jedynie, czy wylosowany element jest większy czy mniejszy od zera. Znajdź estymator największego prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ \mu}\).
3. Dla każdej macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\) możemy zdefiniować \(\displaystyle{ \sin A}\) jako: \(\displaystyle{ \sin A = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}}\).
   Udowodnij lub obal: istnieje macierz \(\displaystyle{ A}\) typu \(\displaystyle{ 2\times 2}\) określona nad zbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), taka że: \(\displaystyle{ \sin A = \begin{pmatrix} 1 & 2011\\ 0 & 1\end{pmatrix}}\).
4. Niech \(\displaystyle{ (G,+)}\) będzie grupą abelową i niech \(\displaystyle{ \mathcal{I} \subseteq P(G)}\) będzie właściwym, jednorodnym ideałem podzbiorów \(\displaystyle{ G}\), niezmienniczym na działania grupowe, czyli:
   1. \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{I} )(\forall B \subseteq A)B\in \mathcal{I}}\)
   2. \(\displaystyle{ (\forall A,B\in\mathcal{I} )A\cup B\in\mathcal{I}}\)
   3. \(\displaystyle{ G\notin\mathcal{I}}\)
   4. \(\displaystyle{ (\forall g\in G)\{g\}\in\mathcal{I}}\)
   5. \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{I} )(\forall g\in G)A+g=\{a+g:a\in A\}\in\mathcal{I}}\)
   6. \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{I} )-A=\{-a:a\in A\}\in\mathcal{I}}\)
   Udowodnij, że nie istnieje \(\displaystyle{ D\in\mathcal{I}}\) taki, że \(\displaystyle{ (\forall A\in\mathcal{I} )(\exists g\in G)A \subseteq D+g}\). Pokaż, że bez założenia f) twierdzenie nie jest prawdziwe.
5. Niech \(\displaystyle{ (X_{i1}, \ldots , X_{in_i}), \ i \in \left\{ 1, 2\right\}}\) będą dwoma niezależnymi próbkami losowymi z rozkładów \(\displaystyle{ N\left( \mu_i, \sigma^2 \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ n_i \ge 2}\) oraz parametry \(\displaystyle{ \mu_i}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma}\) są nieznane. Dla hipotezy o współczynniku istotności \(\displaystyle{ \alpha}\):
   \(\displaystyle{ H_0: \ \mu_1=\mu_2 \\
   H_1: \ \mu_1 \ne \mu_2}\)
   znajdź najmocniejszy estymator jednostajnie nieobciążony oraz wyznacz jego moc.

[Liga]

Uściślenie:
W zadaniu 3 kategorii II - licealista powinno być: "Niech \(\displaystyle{ n>1}\) będzie liczbą naturalną nieparzystą".
Przepraszamy za ten drobny błąd.

[Liga]

Konkurs dobiegł końca, prace zostały sprawdzone. Oto wyniki II edycji konkursu matematyka.pl:

Kategoria I - gimnazjum

1 miejsce - KPR
2 miejsce - nobuddy
3 miejsce - JaQb

Kategoria II - liceum

1 miejsce - jgarnek
2 miejsce - timon92
3 miejsce - limes123

Kategoria III - otwarta

1 miejsce - Qń

Zwycięzcom gratulujemy oraz prosimy o dopełnienie formalności związanych z weryfikacją kategorii i wyborem nagród.

Z przykrością odnotowaliśmy, że zainteresowanie konkursem było bardzo słabe. Dlatego prosimy Was o podzielenie się z nami swoimi uwagami oraz przemyśleniami, aby następna edycja cieszyła się większą popularnością.

[Qń]

Rzeczywiście, zainteresowanie znikome. Zaryzykuję tezę, że spory wpływ na to miał termin konkursu - styczeń to dla studentów gorący okres i nie ma za bardzo czasu na robienie czegoś ekstra. Korepetytorzy, których trochę jest na forum, też nie mają wtedy łatwo (wiem coś o tym ), a w szkole średniej jest koniec semestru i więcej nauki.

Co do samych zadań (w kategorii otwartej, bo tylko z tymi zawierałem bliższą znajomość) mam uwagi i pozytywne i negatywne.

Zacznę od negatywnej i to tej, która wydała mi się kluczowa przy pierwszym rzucie oka na zadania. Mianowicie: wśród pięciu zadań nie powinno być aż dwóch zadań z zaawansowanej statystyki. Wiadomo (chociażby po aktywności na niniejszym forum), że nie jest to dział najpopularniejszy, gdy więc ludzie widzą, że prawie połowa konkursu tyczy się właśnie tego, to mogą poczuć się zniechęceni. A przecież tyle fajnych działów jeszcze zostało - trudna kombinatoryka, coś z teorii mnogości z niebanalnym użyciem lematu Kuratowskiego-Zorna, coś z kryptografii (i to może nawet nie teoria, a praktyka), teoria liczb z wyższej półki czy algebra abstrakcyjna. Jedno zadanie statystyczne wystarczyłoby w zupełności.
Inny minus to ten, że nie wszędzie wszystkie użyte pojęcia były wyjaśnione, przez co nie wszędzie była jasność co dokładnie należy zrobić. Lepiej byłoby zrobić jak w zadaniu czwartym, w którym niemożność znalezienia rozwiązania na pewno nie mogłaby polegać na tym, że nie wiadomo o co chodzi w treści.

A uwagi pozytywne to przede wszystkim zadanie czwarte, które było na tyle niebanalne, że jego rozwiązanie sprawiało sporą satysfakcję. Drugie zadanie było co prawda nie aż tak trudne, ale jako osoba nie czująca się najmocniej w statystyce, też miałem satysfakcję po zrobieniu, a przy okazji nauczyłem się czegoś nowego. Te dwa zadania były bardzo dobrze dobrane.

Nie wiem czy to samo można powiedzieć o pierwszym, bo nie udało mi się go pokonać (wszelkie pomysły jak transformata Laplace'a czy badanie znaków pochodnych zawiodły), ale jeśli istnieje rozwiązanie niewymagające wyrafinowanych narzędzi, to i to zadanie było świetnie dobrane, z uwagi na trudność. W każdym konkursie powinno być bowiem coś naprawdę - jak to mówi młodzież - hardego.

Z kolei zadanie trzecie było najłatwiejsze - ok, na zachętę takie też musi być. Natomiast piąte nie pasowało mi do zestawu - to było bowiem zadanie raczej na szperanie w książkach, nie był za bardzo potrzebny wkład własny. To jedno wymieniłbym na coś innego.

Co do uwag na przyszłość, to:
- Lepiej byłoby zrobić konkurs w innym terminie (październik-listopad, a najlepiej marzec-kwiecień)
- Dopuściłbym bym możliwość wysyłania po jednym zadaniu, a nie wszystkich naraz. Jeśli komuś uda zrobić się jedno zadanie i je wyśle, to ma większą motywację do wysyłania kolejnych. A tak to wizja konieczności wklepywania wszystkiego naraz mogła mocno zniechęcać. Kwestię kryterium kolejności nadsyłania rozwiązań w przypadku równej ilości punktów można by zmodyfikować na kolejność wysłania ostatniego zadania.
- Bardziej różnorodny dobór zadań (bez dwóch na podobny temat, zwłaszcza jeśli mało popularny).
- Większe rozreklamowanie konkursu. Wiem, że było to robione, ale ja bym bardziej podkreślił, że warto brać udział, bo nawet zrobienie jednego zadania może się wiązać z nagrodami. I podkreślił, że chodzi o nagrody nie byle jakie: "Nowoczesne kompendium matematyki" to coś na co ostrzyłem sobie zęby od samego początku, bo moje wydanie Bronsztejna-Siemiendajewa ma 40 lat i trochę już się rozpada od nieustannego używania .

Chyba tyle. Mam nadzieję, że jeszcze jakieś konkursy się kiedyś odbędą i że w kolejnych chętnych pojawi się więcej. Ja bawiłem się w każdym razie dobrze.

I oczywiście - gratulacje dla wszystkich uczestników z dwóch pierwszych kategorii.

Q.

[miki999]

Potwierdzam to, co napisał Qń. Być może sam bym podjął próbę, gdyby nie aż 2 zad. ze statystyki i termin (o czym była mowa powyżej).

Ponadto pozycję Maurina (na którą nie ukrywam miałbym chrapkę, bo jeszcze nie miałem wglądu) widziałbym w dziale nagród dla III a nie II kategorii.


Pozdrawiam.

[PrzeChMatematyk]

Gratuluje, a rozwiązania zostaną opublikowane na forum??

[scyth]

Oficjalne rozwiązania (tzw. firmowe) nie zostaną opublikowane. Jednak jeśli któryś z laureatów będzie chciał opublikować swoje, nie ma problemu

[Qń]

Rozwiązanie najciekawszego zadania z kategorii trzeciej, z poprawionymi błędami językowo-merytorycznymi (rzeczywiście, wyglądały paskudnie ).

Zadanie 4/ kategoria III:    

Zadanie 4
Załóżmy wbrew tezie, że taki zbiór \(\displaystyle{ D}\) istnieje. Bez utraty ogólności możemy przyjąć, że spełnia on warunek:
\(\displaystyle{ x \in D \Rightarrow -x \in D}\)
Istotnie, gdyby było inaczej, to z uwagi na f do ideału należy też \(\displaystyle{ -D}\), a w takim razie z uwagi na b również \(\displaystyle{ D \cup -D}\), który to zbiór już oczywiście spełnia powyższy warunek. Jasne jest też, że z uwagi na \(\displaystyle{ D \subseteq D \cup -D}\), jeśli zbiór \(\displaystyle{ D}\) spełnia warunek z zadania, to zbiór \(\displaystyle{ D \cup -D}\) też go spełnia oraz oczywiście:
\(\displaystyle{ x \in D \cup -D \Rightarrow -x \in D \cup -D}\)
Tak więc w takim wypadku zamiast \(\displaystyle{ D}\) rozpatrywalibyśmy zbiór \(\displaystyle{ D \cup -D}\)

Przejdźmy zatem do rozwiązania. Oczywiście, z uwagi na c, \(\displaystyle{ D \neq G}\). W takim razie istnieje \(\displaystyle{ g\in G}\) takie, że \(\displaystyle{ g\notin D}\). Z uwagi na d, \(\displaystyle{ \{ g\}}\) należy do ideału, w takim razie z uwagi na b, do ideału należy także \(\displaystyle{ D \cup \{ g\}}\). Tak więc na mocy warunku z zadania, który miałby spełniać \(\displaystyle{ D}\), wiemy, że istnieje \(\displaystyle{ h \in G}\) takie, że:
\(\displaystyle{ D \cup \{ g\} \subseteq D+h}\)

Wynika stąd w szczególności:
\(\displaystyle{ x\in D \Rightarrow x \in D+h \Rightarrow \exists_{d\in D}\ x=d+h \Rightarrow x-h \in D}\)
co oznacza, że zbiór \(\displaystyle{ D}\) jest zamknięty ze względu na odejmowanie elementu \(\displaystyle{ h}\).
Mamy w takim razie z uwagi na powyższe oraz na warunek \(\displaystyle{ x\in D \Rightarrow -x \in D}\):
\(\displaystyle{ x\in D \Rightarrow -x \in D \Rightarrow -x-h\in D \Rightarrow x+h \in D}\)
co oznacza, że zbiór \(\displaystyle{ D}\) jest zamknięty ze względu na dodawanie \(\displaystyle{ h}\).

Jest jednak też \(\displaystyle{ g\in D+ h}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ g-h \in D}\). Ale zbiór \(\displaystyle{ D}\) jest zamknięty ze względu na dodawanie \(\displaystyle{ h}\), więc także \(\displaystyle{ (g-h) +h = g\in D}\). To zaś jest sprzeczne z tym, że \(\displaystyle{ g\notin D}\). Otrzymana sprzeczność pokazuje, że założenie o istnieniu zbioru \(\displaystyle{ D}\) było fałszywe, zatem taki zbiór nie istnieje, czego właśnie chcieliśmy dowieść.

Gdybyśmy natomiast opuścili założenie f, to rozważmy grupę liczb całkowitych z dodawaniem i rozważmy rodzinę jej podzbiorów ograniczonych z dołu. Wówczas warunki a,b,c,d,e są spełnione, bo oczywiście podzbiór zbioru ograniczonego z dołu jest ograniczony z dołu, suma teoriomnogościowa dwóch zbiorów ograniczonych z góry jest zbiorem ograniczonym z dołu, zbiór liczb całkowitych nie jest ograniczony z dołu, singleton dowolnej liczby całkowitej jest ograniczony z dołu, jeśli zbiór ograniczony z dołu "przesuniemy" o dowolną liczbą całkowitą to dalej będzie ograniczony z dołu.
Dla takiego ideału dobrym zbiorem \(\displaystyle{ D}\) jest zbiór liczb naturalnych. Istotnie, jeśli jakiś podzbiór \(\displaystyle{ A}\) liczb całkowitych jest ograniczony z dołu, to z zasady minimum ma element najmniejszy - nazwijmy go \(\displaystyle{ g}\). Wówczas bez wątpienia:
\(\displaystyle{ A \subseteq \mathbb{N} + (-g)}\)
czyli istotnie zbiór liczb naturalnych jest dobrym przykładem.

Q.

[Althorion]

Z jakiegoś powodu byłem pewny, że moderacja nie może startować w konkursie . Nie, żebym zaraz miał miejsce na podium zająć...

[luka52]

Althorion, trzeba czytać uważnie regulamin

Szkoda, że tak mało osób wzięło udział, bo nawet mając sesję czy koniec semestru przed sobą, myślę, że w ciągu tego całego miesiąca można było znaleźć chwilkę na próbę rozwiązania kilku zadań. Dodam, że w rozgrzewce też bardzo umiarkowana liczba osób wzięła udział. Może po prostu taki konkurs nie jest zbyt interesujący? Nagrody mało atrakcyje? Zadania banalne albo zbyt trudne? Może kolejne edycje wypadną lepiej.

[abc666]

Hmm, ja byłem przekonany, że zainteresowanie będzie spore i jeśli nie zrobię wszystkich zadań to nie mam co wysyłać ;/

A co do zadań ze statystyki to chyba nie są one aż tak trudne, sądząc po całych dwóch wykładach jakie miałem ze statystyki

[Jan Kraszewski]

Myślę, że w następnych edycjach trzeba wyraźnie ogłosić, że warto przesyłać rozwiązania choćby pojedynczych zadań i że nie trzeba wysyłać wszystkich rozwiązań równocześnie. Może wtedy potencjalni uczestnicy nie będą mieli takich obaw jak abc666.

JK

[jgarnek]

Moje uwagi i pomysły są takie:
-pierwsze zadanie w każdej kategorii musi być w miarę proste (ale i niedarmowe) i nie wymagać zbyt wiele teorii. W kategorii licealista pierwsze zadanie wymagało znajomości jednego twierdzenia (które było nawet na wikipedii z dowodem) ale przeciętny licealista nie znajdzie tego. Na pierwsze zadanie nadawałoby się moim zdaniem np. zadanie 4.

-wiele osób sądzi, że i tak nie uda im się rozwiązać wszystkich zadań, więc nawet nie próbują. Można by wprowadzić 2 rodzaje nagród: główne (dla najlepszych i najszybszych) i pocieszenia. W losowaniu nagród pocieszenia brałyby udział wszystkie osoby, które nie dostały nagród głównych i przekroczyły pewien próg (np. 3 zadania), ewentualnie im więcej punktów, tym większe prawdopodobieństwo wylosowania nagrody.

Przy okazji gratuluję wszystkim wyróżnionym

[Swistak]

Jakby administracja dawała mniej banów, to by było więcej uczestników xD
No i myślę, że gdyby nagrody, poza tym, że jest o nich pisane, to jeszcze byłyby wysyłane, to też byłoby okolicznością sprzyjającą zwiększeniu liczby uczestników xp.

[silvaran]

Miały zostać nagrodzone po 4 osoby, a tutaj widzę, że z dwóch kategorii mamy po 3 a z ostatniej tylko 1. Czyżby było tak mało zgłoszeń, że nawet nie starczyło ludzi aby poprzydzielać im nagrody? Czy może rozwiązania nie były godne?