Witam
Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykazać, że liczba przekatnych w wielokącie wypukłym o n bokach, \(\displaystyle{ n\geq 3}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)
Pozdrawiam
Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie
- qsiarz
- Użytkownik
- Posty: 202
- Rejestracja: 15 kwie 2006, o 15:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 18 razy
Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie
narysuj dowolny wielokat, najlepiej taki zeby sie nie zamykal (lamana) i poprowadz z kazdego wierzcholka przekatna, jest ich n-3, poniewaz dotycza one kazdego wierzcholka oprocz wybranego i jego najblizszych sasiadow. teraz robisz cos takiego dla kazdego wierzcholka, wiec mamy n(n-3). na koniec zauwazasz ze kazda przekatna policzyles dwa razy i masz wynik sprawdzony.
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 16 paź 2006, o 18:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: strzegom
Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)
Weźmy sobie czworokąt
1. Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla n=4
\(\displaystyle{ \frac{4(4-3)}{2} = 2}\)
Prawda
2. Założenie Indukcyjne \(\displaystyle{ k\geq4}\)
\(\displaystyle{ \frac{k(k-3)}{2}}\)
3. Teza indukcyjna
\(\displaystyle{ \frac{(k+1)(k-2)}{2}}\)
4. Dowód Tezy
\(\displaystyle{ \frac{(k+1)(k-2)}{2} = \frac{k^{2}-2k+k-2}{2}=\frac{k^{2}-k-2}{2}}\)
Aby uzyskać wielokąt k+1 dodajemy k-2 przekątnych
\(\displaystyle{ \frac{k(k-3)}{2}+(k-1)=\frac{k^{2}-3k}{2}+\frac{2k-2}{2}=\frac{k^{2}-k-2}{2}}\)
co należało udowodnić
Sprawdziliśmy prawdziwość twierdzenia dla n=4 wykazaliśmy, że z prawdziwości twierdzenia dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k\geq4}\) wynika prawdziwość twierdzenia dla k+1 zatem na mocy indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby \(\displaystyle{ n\geq4}\),\(\displaystyle{ n N}\)
Weźmy sobie czworokąt
1. Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla n=4
\(\displaystyle{ \frac{4(4-3)}{2} = 2}\)
Prawda
2. Założenie Indukcyjne \(\displaystyle{ k\geq4}\)
\(\displaystyle{ \frac{k(k-3)}{2}}\)
3. Teza indukcyjna
\(\displaystyle{ \frac{(k+1)(k-2)}{2}}\)
4. Dowód Tezy
\(\displaystyle{ \frac{(k+1)(k-2)}{2} = \frac{k^{2}-2k+k-2}{2}=\frac{k^{2}-k-2}{2}}\)
Aby uzyskać wielokąt k+1 dodajemy k-2 przekątnych
\(\displaystyle{ \frac{k(k-3)}{2}+(k-1)=\frac{k^{2}-3k}{2}+\frac{2k-2}{2}=\frac{k^{2}-k-2}{2}}\)
co należało udowodnić
Sprawdziliśmy prawdziwość twierdzenia dla n=4 wykazaliśmy, że z prawdziwości twierdzenia dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k\geq4}\) wynika prawdziwość twierdzenia dla k+1 zatem na mocy indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby \(\displaystyle{ n\geq4}\),\(\displaystyle{ n N}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 21 sty 2006, o 14:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: stąd
- Podziękował: 1 raz
Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie
Coś się chyba pomyliłeś. Chodzi o ostatnią linijkę, jak zwiększamy o jeden bok to ilość przekatnych zwiększa się o k-2, a do obliczeń wziąłeś k-1. Np. trójkąt ma zero przekątnych, dodajemy jeden bok i mamy kwadrat, który ma dwie przekatne, czyli liczba przekatnych wzrosła o k-2.
- Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie
... plus dodatkowa przekątna, którą staje się bok k-kąta (łączący te wierzchołki "pomiędzy" które wstawiam k+1 wierzchołek)gg1985 pisze:jak zwiększamy o jeden bok to ilość przekatnych zwiększa się o k-2
Nie, bo w tym przypadku k=3gg1985 pisze:czyli liczba przekatnych wzrosła o k-2.
-
- Użytkownik
- Posty: 218
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 17:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieliczka
- Podziękował: 170 razy
- Pomógł: 7 razy
Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie
Teza musi być zdaniem logicznym, a to nie jest zdanie, proszę o poprawę tego bo ja nei weim jak to poprawicmarbuk22 pisze:3. Teza indukcyjna