dwusieczna dzieli n odcinki proporcjonalne do długości boków

[Fearless_Vampire]

Udowodnij twierdzenie, według którego dwusieczna AE kąta A w trójkącie ABC dzieli bok BC na odcinki BE i EC takie, że BE/EC = AB/AC.
Wskazówka: przedłuż AB poza A, aż do punktu D takiego, że AD = AC, i połącz D z C).

[Crizz]

Kąty CAE i EAB są równe z definicji dwusiecznej. Niech F będzie takim punktem leżącym na przedłużeniu boku AB, że CF jest równoległe do AE. Oznaczmy \(\displaystyle{ \sphericalangle CAE=\alpha}\). Wówczas kąt CAF ma miarę \(\displaystyle{ 180^{o}-2\alpha}\) jako przyległy do CAB, natomiast kąt CFA jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\) jako odpowiadający kątowi EAB. Stąd trójkąt CAE jest równoramienny, czyli \(\displaystyle{ |CA|=|CF|}\).

Na mocy twierdzenia Talesa zachodzi \(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|EB|}=\frac{|AF|}{|CE|}}\), a po uwzględnieniu tego, że \(\displaystyle{ |CA|=|CF|}\), dostajemy \(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|EB|}=\frac{|AC|}{|CE|}}\), co daje dowodzoną równość.

[gryzzly92]

Stąd trójkąt CAE jest równoramienny, czyli \(\displaystyle{ |CA|=|CF|}\).
...a po uwzględnieniu tego, że \(\displaystyle{ |CA|=|CF|}\)

Równość jaka zachodzi to oczywiście \(\displaystyle{ |CA|=|AF|}\)