[Wielomiany] Wielomian i cykl

[luka52]

Mając dany wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\), skończony ciąg różnych liczb \(\displaystyle{ a_1, \ldots, a_k}\) nazywamy cyklem długości \(\displaystyle{ k}\) dla \(\displaystyle{ P}\) jeśli \(\displaystyle{ P(a_i) = a_{i+1}}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le k-1}\) i \(\displaystyle{ P(a_k) = a_1}\). Jeśli wszystkie liczby \(\displaystyle{ a_i}\) są całkowite, to cykl nazywamy cyklem całkowitym.
Wyznacz wszystkie wielomiany o współczynnikach całkowitych mające cykl całkowity długości \(\displaystyle{ \ge 2}\).

[tkrass]

Ukryta treść:    

Takie wielomiany nie istnieją.
Przypuśćmy, że istnieje wielomian P spełniający warunki zadania. Oczywiście zachodzi (jak i dla każdego innego wielomianu) własność \(\displaystyle{ x-y|P(x)-P(y)}\). Zatem \(\displaystyle{ a_1-a_2|P(a_1)-P(a_2)=a_2-a_3}\). I analogicznie:
\(\displaystyle{ a_2-a_3|a_3-a_4}\)
...
\(\displaystyle{ a_n-a_1|a_1-a_2}\).
Ale jeżeli \(\displaystyle{ x|y}\) to \(\displaystyle{ x \le y}\), więc:
\(\displaystyle{ a_1-a_2 \le a_2 - a_3 \le ... \le a_n-a_1 \le a_1-a_2}\). W szczególności wszystkie te nierówności muszą być równościami. Czyli \(\displaystyle{ a_1-a_2=a_2-a_3=...=a_n-a_1}\), a więc także \(\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_n}\). Ale liczby miały być różne. Otrzymana sprzeczność dowodzi odpowiedzi.

[sebnorth]

\(\displaystyle{ x|y}\) to \(\displaystyle{ x \le y}\)

a co z \(\displaystyle{ 2|(-2)}\) ?

[luka52]

No właśnie - jest to dobry trop do rozwiązania połowy problemu.
Potem jest jeszcze jeden szczególny przypadek do rozważenia.

[tkrass]

Ukryta treść:    

No dobra, zamiast \(\displaystyle{ x \le y}\) jest \(\displaystyle{ |x| \le |y|}\). Wtedy tamte późniejsze nierówności są co do modułów, i tak samo zachodzą równości. I teraz albo wszystko zachodzi tak jak pisałem wcześniej, albo chociaż dla jednego k zachodzi \(\displaystyle{ a_k-a_{k+1}=a_{k+2}-a_{k+1}}\), co również implikuje równość dwóch z powyższych liczb i kończy rozwiązanie zadania.

[luka52]

To w takim razie co z np.: \(\displaystyle{ x^2 - 4x + 5}\), \(\displaystyle{ a_1 = 1}\)?

[tkrass]

Fuj. A gdzie w takim razie jest błąd w moim rozumowaniu?

[Dumel]

trochę się pospieszyłeś z tą równością wszystkich \(\displaystyle{ a_i}\). niemniej jednak dla k>2 zadanko zrobione.
dla k=2 mamy takie wielomiany:
\(\displaystyle{ P(x)=(x-a)((x-b)R(x)-1)+b}\) gdzie \(\displaystyle{ R \in \mathbb{Z}[x]}\)

[luka52]

Dumel, tak jest.