Prawdopodobieństwo z liczbami losowo ustawionymi w ciąg.

[Aerosmith]

Jest to zadanie 7 z II etapu "Diamentowego Indexu AGH" 2009/10.
Chciałbym by ktoś mi wytłumaczył jak je zrobić z opisaniem co skąd się wzięło itp.
Dwa pierwsze zdarzenia niby umiem policzyć, jednak gorzej z ich rozpisaniem. Parę gołych liczb i wynik, nie wiem jak to opisać.
Oto treść:
Liczby 1, 2, 3, ... n , gdzie n \(\displaystyle{ \ge}\) 3, losowo ustawiamy w ciąg. Oblicz prawdo-
podobieństwa zdarzeń
A : liczba n nie będzie ostatnim wyrazem tego ciągu,
B : liczby 1; 2; 3 wystąpią obok siebie w kolejności wzrastania,
C : iloczyn każdej pary sąsiednich wyrazów tego ciągu jest liczbą parzystą.
Wyniki zapisz w najprostszej postaci.

[sebnorth]

Zadanie C wydaje się ciekawe. Przez \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ n}\) będę oznaczał symbolicznie liczbę parzystą i nieparzystą. Rozważmy 2 przypadki.

1) \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą parzystą. Czyli n=2k dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ k}\) (nawet \(\displaystyle{ k \ge 2}\) bo \(\displaystyle{ n \ge 3}\) ale to dla mnie teraz nie jest ważne)

Jedyne permutacje które wchodzą w grę (sprzyjają zdarzeniu C) to ciągi postaci \(\displaystyle{ p,n,p,n,p ..}\). lub \(\displaystyle{ n,p,n,p,n..}\).

Jeśli by w ciągu wystąpiły 2 liczby parzyste pod rząd to gdzieś dalej musiałyby być 2 nieparzyste obok siebie, korzystamy z tego że parzystych i nieparzystych jest po równo.

Ciągów postaci \(\displaystyle{ p,n,p,n,p}\) jest \(\displaystyle{ k! \cdot k!}\) a ciągów \(\displaystyle{ n,p,n,p,n...}\) też \(\displaystyle{ k! \cdot k!}\) (permutujemy podciągi składające się z liczb ustalonej parzystości)

Wszystkich ciągów jest oczywiście \(\displaystyle{ n!}\) zatem \(\displaystyle{ P(C) = \frac{2(k!)^{2}}{(2k)!}}\)

2) \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą nieparzystą. Czyli \(\displaystyle{ n=2k+1}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ k}\).

Jedyne permutacje które wchodzą w grę (sprzyjają zdarzeniu C) to ciągi postaci \(\displaystyle{ n,p,n,p, \ldots , n}\)

Ciągów tych jest \(\displaystyle{ (k+1)! \cdot k!}\)

zatem \(\displaystyle{ P(C) = \frac{ (k+1)! \cdot k! }{(2k+1)!}}\)

[blost]

zapomniales chyba przez 2 pomnozyc w pierwszym

[sebnorth]

Dziękuję, już poprawiłem

[Aerosmith]

Ciągów postaci \(\displaystyle{ p,n,p,n,p}\) jest \(\displaystyle{ k! \cdot k!}\) a ciągów \(\displaystyle{ n,p,n,p,n...}\) też \(\displaystyle{ k! \cdot k!}\) (permutujemy podciągi składające się z liczb ustalonej parzystości)

Ciągów tych jest \(\displaystyle{ (k+1)! \cdot k!}\)

Nie rozumiem skąd wiesz ile ich jest. Mógłbyś to jakoś wytłumaczyć najprościej jak się da? Rachunek póki co jest moją 'piętą achillesową'...

edit: Rozkminiłem niby, ale sam bym na to nie wpadł.

[smmileey]

A można znaleźć prawdopodobieństwo (konkretnie wzór) dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego i nieparzystego, bez podziału na przypadki?

[lol10]

rozwiązanie tego zadanie podane wyżej jest złe. dla nieparzystych przecież mogą wchodzić w gre ciągi nppnpnp bo jest więcej nieparzystych liczb w ciągu od parzstych .... ehhhh..-- 8 lut 2011, o 22:44 --grrr! źle , dla nieparzystych mamy przewage nieparzystych więc nie będzie tak, błąd jest przy parzystych

[sebnorth]

w którym miejscu jest błąd dla parzystych?

[NeuroMind]

nie ma błędu, jak jest ich po równo to muszą być na zmianę, a jak jest więcej nieparzystych, to i tak muszą być na zmianę, bo nie mogą być 2 nieparzyste obok siebie.