Granica ciągu z ułamkiem

[wisionka24]

Problem tego typu, że wychodzą mi za każdym razem inne liczby i nieskończoności.

\(\displaystyle{ b_{n}=\left( \frac{3n-1}{3n+1} \right) ^{n+4}}\)

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left[ \left( 1+ \frac{-2}{3n+1} \right) ^{ \frac{3n+1}{-2} } \right] ^{ \frac{-2}{3n+1} \cdot \left( n+4\right) }=e ^{ \frac{-2}{3} }}\)

Poprawione.

[Simon86]

znaczek trzeba tam zmienić

\(\displaystyle{ \frac{3n-1}{3n+1} = 1 - \frac{2}{3n + 1}}\)

[wisionka24]

a czy wynikiem z tego ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{4 ^{n+1}-5 ^{n+1}}{5 ^{n}-4 ^{n}}}\)
jest -5 ?

[?ntegral]

Tak.

[wisionka24]

Metoda na dzielenie pod pierwiastkiem przez najwyższą potęgę n w tym przypadku nie działa bo wychodzi pierwiastek przez 0. Co innego można tutaj zastosować?
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2n ^{3}+1 } }{ \sqrt{3n ^{2}-2 } }}\)

[?ntegral]

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2n ^{3}+1 } }{ \sqrt{3n ^{2}-2 } }=\sqrt{\frac{2n^3+1}{3n^2-2}}}\)

Licznik i mianownik wyrażenia pod pierwiastkiem podziel przez \(\displaystyle{ n^2}\).

[wisionka24]

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2n ^{3}+1 } }{ \sqrt{3n ^{2}-2 } }=\sqrt{\frac{2n^3+1}{3n^2-2}}}\)

Licznik i mianownik wyrażenia pod pierwiastkiem podziel przez \(\displaystyle{ n^2}\).

Niewiele to pomaga. Zostaje \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2n}{3}}}\)

i co teraz?

[?ntegral]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{2n ^{3}+1 } }{ \sqrt{3n ^{2}-2 } }=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{2n^3+1}{3n^2-2} \cdot \frac{ \frac{1}{n^2} }{ \frac{1}{n^2} }}=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{2n+ \frac{1}{n^2}}{3-\frac{2}{n^2}}} = \infty}\)