[Nierówności] Pytanie odnośnie średnich.

[Kimon]

Rozważmy macież prostokątną mającą \(\displaystyle{ n}\) wierszy i \(\displaystyle{ m}\), kolumn
Wiadomo że \(\displaystyle{ G(A_{1},A_{2},...,A_{m}) \ge A(G_{1},G_{2},...,G{n})}\).
Gdzie \(\displaystyle{ G_{i}}\) oznacza średnią geometryczną i-tego wiersza a \(\displaystyle{ A_{j}}\) arytmetyczną j-tej kolumny.

Nasuwa mi się tutaj pytanie czy analogiczna zależność zachodzi pomiędzy średnią arytmetyczną i kwadratową tzn. \(\displaystyle{ A(K_{i},i \in\left\{ 1,2,...,m\right\} ) \ge K(A_{j},j \in\left\{ 1,2,...,n\right\} )}\)? Oraz ogólniej czy analogiczna zależność istnieje pomiędzy średnimi potęgowymi o naturalnych rzędach: \(\displaystyle{ N(M_{i},i \in\left\{ 1,2,...,m\right\} ) \ge M(N_{j},j \in\left\{ 1,2,...,n\right\} )}\), gdzie \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) są średnimi potęgowymi o rzędach \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ m>n}\) ?

Próbowałem dowodzić jakoś samemu ale to nie na moją głowę.