Log i potęgi

[jm]

1) \(\displaystyle{ (log _{5}(6-x))^{2}+2log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6-x)+log_{3}27 \ge 0}\)

2) \(\displaystyle{ 3^{x}-2^{x+4}<3^{x-1}-55*2^{x-2}}\)

Proszę o pomoc w tych dwóch przykładach. W pierwszym jasne jest, że przed > jest 3, i mamy tą samą liczbę logarytmowaną 6-x ale jak to wykorzystać.

W drugim rozumiem, że trzeba coś sprowadzać i wyłączać, ale co.

[Lbubsazob]

Zad. 1
\(\displaystyle{ \frac{1}{\left( \log_{6-x} 5\right)^2 }+ \frac{2}{\log_{6-x}5 ^{-\frac{1}{2}} } \ge -3}\)
I potem podstaw \(\displaystyle{ t=\log_{6-x} 5}\), oczywiście nie zapomnij o założeniach.

[jm]

Zad. 1
\(\displaystyle{ \frac{1}{\left( \log_{6-x} 5\right)^2 }+ \frac{2}{\log_{6-x}5 ^{-\frac{1}{2}} } \ge -3}\)
I potem podstaw \(\displaystyle{ t=\log_{6-x} 5}\), oczywiście nie zapomnij o założeniach.

Tu wychodzi \(\displaystyle{ t=(-2 ^{ \frac{1}{5} }) ^{ \frac{1}{4} }}\) ?

[Lbubsazob]

Tu wychodzi \(\displaystyle{ t=(-2 ^{ \frac{1}{5} }) ^{ \frac{1}{4} }}\) ?

Wychodzi mi tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{t^2}- \frac{4t}{t^2}+ \frac{3t^2}{t^2} \ge 0 \\
\frac{3t^2-4t+1}{t^2} \ge 0 \\
\ldots \\
t=1 \vee t= \frac{1}{3}}\)

[jm]

A co z tym drugim przykładem?

[Lbubsazob]

Widzę błąd, poprawiam:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 3^x-2^x \cdot 16<3^x \cdot \frac{1}{3}-2^x \cdot \frac{55}{4} \\
\frac{2}{3} \cdot 3^x< \frac{9}{4} \cdot 2^x \\
3^x< \frac{27}{8} \cdot 2^x \\
\left( \frac{3}{2} \right)^x< \frac{27}{8}}\)

[Simon86]

\(\displaystyle{ 3^{x}-2^{x+4}<3^{x-1}-55 \cdot 2^{x-2}}\)

\(\displaystyle{ 3^{x} - 16 \cdot 2^{x}< \frac{3^{x}}{3} - \frac{55 \cdot 2^{x}}{4}}\)

\(\displaystyle{ 12 \cdot 3^{x} - 192 \cdot 2^{x} < 4 \cdot 3^{x} - 165 \cdot 2^{x}}\)

\(\displaystyle{ 3^{x} \cdot (12 - 4) < 2^{x} \cdot (192 - 165)}\)

\(\displaystyle{ 3^{x} \cdot (8) < 2^{x} \cdot (27)}\)

\(\displaystyle{ (\frac{3}{2})^{x} < (\frac{3}{2})^{3}}\)

\(\displaystyle{ x < 3}\)

[jm]

Tu wychodzi \(\displaystyle{ t=(-2 ^{ \frac{1}{5} }) ^{ \frac{1}{4} }}\) ?

Wychodzi mi tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{t^2}- \frac{4t}{t^2}+ \frac{3t^2}{t^2} \ge 0 \\
\frac{3t^2-4t+1}{t^2} \ge 0 \\
\ldots \\
t=1 \vee t= \frac{1}{3}}\)

A te t do kwadratu się skąd wzięło?

[Lbubsazob]

No bo w pierwszym mianowniku było \(\displaystyle{ \frac{1}{\left( \log_{6-x} 5\right)^2 }}\), a po podstawieniu \(\displaystyle{ t}\) sprowadziłam to wszystko do wspólnego mianownika.