Wykazać liczbę przekątnych w wielokącie

[gg1985]

Witam

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykazać, że liczba przekatnych w wielokącie wypukłym o n bokach, \(\displaystyle{ n\geq 3}\) jest równa \(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)

Pozdrawiam

[qsiarz]

narysuj dowolny wielokat, najlepiej taki zeby sie nie zamykal (lamana) i poprowadz z kazdego wierzcholka przekatna, jest ich n-3, poniewaz dotycza one kazdego wierzcholka oprocz wybranego i jego najblizszych sasiadow. teraz robisz cos takiego dla kazdego wierzcholka, wiec mamy n(n-3). na koniec zauwazasz ze kazda przekatna policzyles dwa razy i masz wynik sprawdzony.

[gg1985]

Ale to nie będzie wtedy dowód indukcyjny.

[marbuk22]

\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)
Weźmy sobie czworokąt
1. Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla n=4
\(\displaystyle{ \frac{4(4-3)}{2} = 2}\)
Prawda
2. Założenie Indukcyjne \(\displaystyle{ k\geq4}\)
\(\displaystyle{ \frac{k(k-3)}{2}}\)
3. Teza indukcyjna
\(\displaystyle{ \frac{(k+1)(k-2)}{2}}\)
4. Dowód Tezy
\(\displaystyle{ \frac{(k+1)(k-2)}{2} = \frac{k^{2}-2k+k-2}{2}=\frac{k^{2}-k-2}{2}}\)
Aby uzyskać wielokąt k+1 dodajemy k-2 przekątnych

\(\displaystyle{ \frac{k(k-3)}{2}+(k-1)=\frac{k^{2}-3k}{2}+\frac{2k-2}{2}=\frac{k^{2}-k-2}{2}}\)
co należało udowodnić

Sprawdziliśmy prawdziwość twierdzenia dla n=4 wykazaliśmy, że z prawdziwości twierdzenia dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k\geq4}\) wynika prawdziwość twierdzenia dla k+1 zatem na mocy indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby \(\displaystyle{ n\geq4}\),\(\displaystyle{ n N}\)

[gg1985]

Coś się chyba pomyliłeś. Chodzi o ostatnią linijkę, jak zwiększamy o jeden bok to ilość przekatnych zwiększa się o k-2, a do obliczeń wziąłeś k-1. Np. trójkąt ma zero przekątnych, dodajemy jeden bok i mamy kwadrat, który ma dwie przekatne, czyli liczba przekatnych wzrosła o k-2.

[Sir George]

jak zwiększamy o jeden bok to ilość przekatnych zwiększa się o k-2

... plus dodatkowa przekątna, którą staje się bok k-kąta (łączący te wierzchołki "pomiędzy" które wstawiam k+1 wierzchołek)

czyli liczba przekatnych wzrosła o k-2.

Nie, bo w tym przypadku k=3

[Simong]

3. Teza indukcyjna

Teza musi być zdaniem logicznym, a to nie jest zdanie, proszę o poprawę tego bo ja nei weim jak to poprawic