Znaleźć macierze spełniające równanie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Arst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 767
Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: University of Warwick
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 50 razy

Znaleźć macierze spełniające równanie

Post autor: Arst » 2 lut 2011, o 20:43

Znaleźć wszystkie macierze X spełniające równanie:
\(\displaystyle{ X \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\2&2&0\\0&1&1\\-1&0&1 \end{array}\right]}\)
Chciałbym poznać jaka jest najszybsza metoda rozwiązania tego zadania?
Znalazłem jedną macierz \(\displaystyle{ 4 \times 3}\) przekształcając:
\(\displaystyle{ XA=B \rightarrow X=BA^{-1}}\)
Ale to chyba jeszcze nie koniec zadania?

Dodatkowo chciałbym się dowiedzieć w sprawie układu z parametrem, jeśli mam znaleźć wszystkie liczby dla których układ: nie ma rozwiązań, ma dokładnie jedno rozwiązanie, ma więcej niż jedno rozwiązanie, to jak powinienem postąpić? Np. w przypadku takiego układu:

\(\displaystyle{ 5x_1+2x_2-x_3=1 \\ 2x_1+3x_2+4x_3=7 \\ 4x_1-5x_2+ \lambda x_3= \lambda-5}\)

Potraktowałem go Gaussem i stwierdziłem, że dla \(\displaystyle{ \lambda \not =-14}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla \(\displaystyle{ \lambda=14}\) rozwiązań nie ma (sprzeczny), ale jak znaleźć parametry dla których układ ma więcej niż jedno rozwiązanie?

Dzięki za odpowiedzi.

Pozdrawiam,
A.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2628 razy

Znaleźć macierze spełniające równanie

Post autor: » 2 lut 2011, o 21:52

Arst pisze:\(\displaystyle{ XA=B \rightarrow X=BA^{-1}}\)
Ale to chyba jeszcze nie koniec zadania?
Owszem, koniec (no, trzeba jeszcze policzyć tę macierz odwrotną, a potem wymnożyć macierze).
Potraktowałem go Gaussem i stwierdziłem, że dla \(\displaystyle{ \lambda \not =-14}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla \(\displaystyle{ \lambda=14}\) rozwiązań nie ma (sprzeczny), ale jak znaleźć parametry dla których układ ma więcej niż jedno rozwiązanie?
Po pierwsze: lepiej było Cramerem.
Po drugie: w ogólności przecież może nie istnieć lambda dla którego układ jest nieoznaczony.
Po trzecie: chyba się pomyliłeś, bo dla minus czternastki wychodzi układ nieoznaczony. W takim razie nie ma takiej wartości lambda, dla której układ byłby sprzeczny.

Q.

Awatar użytkownika
Arst
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 767
Rejestracja: 10 mar 2008, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: University of Warwick
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 50 razy

Znaleźć macierze spełniające równanie

Post autor: Arst » 2 lut 2011, o 21:58

Możliwe, że zrobiłem błąd, zrobię ten przykład raz jeszcze, dzięki za pomoc

Jeszcze takie pytanie:
czy jeśli mam znaleźć niezerowe rozwiązania równania: \(\displaystyle{ (A-\lambda I)X=0}\), to badam wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ (A-\lambda I)}\)?

ODPOWIEDZ