Kilka zadań z dolnośląskich meczów matematycznych

[Maserex]

1. Liczbę naturalną n podniesiono do 30 potęgi i otrzymano 42391158275216203514294433201. Jaka to liczba?
2. Spośród 1000 uczestników międzynarodowej olimpiady matematycznej każdy zna biegle jakiś język obcy. 756 włada angielskim, 621 rosyjskim, 416 francuskim, 471 angielskim i rosyjskim, 315 angielskim i francuskim, 228 rosyjskim i francuskim. Ile osób włada tylko 1 językiem?
3. Czy istnieje taka liczba niewymierna x, że suma tej liczby i jej odwrotności jest wymierna?
4. W poniedziałek pani Jabłczyńska kupiła pewną ilość jabłek. We wtorek podrożały o 50% i za ilość jabłek o p% mniejszą niż w poniedziałek zapłaciła o p% więcej. O ile procent więcej jabłek kupiła pani Jabłczyńska w poniedziałek niż we wtorek?
5. Dla jakich wartości parametru m równanie |x+3| = \(\displaystyle{ m^{2}}\) - 2m ma dwa różne znaki ujemne?
6. W sześcianie o krawędzi długości 1 m fruwa 2010 much. Czy można tak wybrać kulę o promieniu 9cm, by fruwały w niej co namniej 3 muchy? Kula może wychodzić poza sześcian.
7. Rozwiąż równanie\(\displaystyle{ 1/y - 1/x = 1/x-y}\)
8. Jaka jest najmniejsza liczba dziesięciocyfrowa o sumie cyfr równej 88 i podzielna przez 88 ?
9. Jaki znak ma liczba \(\displaystyle{ sin\sqrt{77}}\)

Czy ktoś się podejmie ?;>

[kamil13151]

1. - Liczba podniesiona do potęgi 30 ma 28 cyfr, więc nie mogła być to liczba większa niż 10.
- Liczba nieparzysta, więc mamy możliwość 3, 5, 7 i 9.
- Ostatnia liczba to nie 0 i 5, więc nie dzieli się przez 5.
- Suma 28 cyfr nie dzieli się przez 3 i jest to liczba nieparzysta, więc nie dzieli się też przez 4, a jak nie dzieli się przez 3 i 4 to i nie dzieli się też przez 7.

Metodą eliminacji mamy wynik, to \(\displaystyle{ 9 ^{30}}\)

[matematyka_lublin]

2. Myślę, że tylko po angielsku mówi 191 osób, tylko po rosyjsku 143 osoby, a tylko po francusku 94 osoby. Łącznie jednym językiem włada 428 osób.

Dodatkowe info: 3 językami mówi 221 osób.

[kamil13151]

W drugim można by się przyczepić o treść zadania:

Spośród 1000 uczestników międzynarodowej olimpiady matematycznej każdy zna biegle jakiś język obcy. 756 włada angielskim, 621 rosyjskim, 416 francuskim, 471 angielskim i rosyjskim, 315 angielskim i francuskim, 228 rosyjskim i francuskim. Ile osób włada tylko 1 językiem?

Załóżmy, że znam tylko j. polski, więc władam tylko 1 językiem

[matematyka_lublin]

Ja założyłem, że jeżeli ktoś zna angielski to zna sam angielski lub angielski i francuski, angielski i rosyjski lub wszystkie 3 języki naraz.


9. Oszacujmy sobie liczbę \(\displaystyle{ \sqrt{77}}\).

\(\displaystyle{ \frac{5}{2} \pi <8< \sqrt{77}< \sqrt{81}=9<3 \pi}\)

Z wykresu funkcji sinus odczytujemy, gdzie znajduje się \(\displaystyle{ sin \sqrt{77}}\). Sinus przyjmuje wartości dodatnie w przedziale \(\displaystyle{ (2 \pi ;3 \pi )}\), stąd znak szukanego wyrażenia jest liczbą dodatnią.

[cyberciq]

Pytanie do zad 7. w mianowniku po prawej stronie równania jest samo \(\displaystyle{ x}\) czy \(\displaystyle{ x-y}\) tylko nawiasów zapomniano?

pozdrawiam

[kamil13151]

1. - Liczba podniesiona do potęgi 30 ma 28 cyfr, więc nie mogła być to liczba większa niż 10.
- Liczba nieparzysta, więc mamy możliwość 3, 5, 7 i 9.
- Ostatnia liczba to nie 0 i 5, więc nie dzieli się przez 5.
- Suma 28 cyfr nie dzieli się przez 3 i jest to liczba nieparzysta, więc nie dzieli się też przez 4, a jak nie dzieli się przez 3 i 4 to i nie dzieli się też przez 7.

Metodą eliminacji mamy wynik, to \(\displaystyle{ 9 ^{30}}\)

W ostatnim myślniku popełniłem wielką głupotę, bo suma dzieli się na przez 3, bo jak by się nie dzieliła to i 9 nie mogła by być rozwiązaniem. Jako, że nie mogę edytować, napiszę jak powinien wyglądać ostatni myślnik.
- Zgodnie z cechą podzielności 7 to liczba powstała z różnicy złożonej z pierwszych cyfr liczby i liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr liczby dzieli się przez 7 to i cała liczba dzieli się przez 7, a 2201 nie dzieli się przez 7, więc odpada 7. Teraz pozostaje udowodnić, że odpada 3. Gdy potęgujemy liczbę 3 to ma ona pewny schemat ostatnich liczb, \(\displaystyle{ 3 ^{1} = 3}\).
Dalej wygląda to tak: \(\displaystyle{ 3 ^{2} = 9}\), \(\displaystyle{ 3^{3} = 27}\), \(\displaystyle{ 3 ^{4} = 81}\), \(\displaystyle{ 3 ^{5} = 243}\) i teraz każda liczba kolejno będzie miała końcówkę 9, 7, 1, 3 (kto nie wierzy może sprawdzić ) . Końcówka w \(\displaystyle{ 3^{30} = ...9}\), więc nie zgadza się z naszym wynikiem.

Przepraszam za pomyłkę, pozdrawiam