Mam taką definicje:
Niech funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) będzie określona, ogólnie biorąc, w dwuwymiarowym zbiorze \(\displaystyle{ M=X \times Y}\) gdzie \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są zbiorami wartości odpowiednio zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Niech przy tym \(\displaystyle{ Y}\) ma jako punkt skupienia skończoną liczbę \(\displaystyle{ y_{0}}\).
Jeśli:
1) dla funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)}\) przy \(\displaystyle{ y \rightarrow y_{0}}\) istnieje skończona funkcja graniczna \(\displaystyle{ \lim_{y\to y_{0}}\ f(x,y) = \phi (x)}\) (\(\displaystyle{ x \in X}\))
i
2) dla dowolnej \(\displaystyle{ \epsilon >0}\) można znaleźć taką liczbę \(\displaystyle{ \delta >0}\) niezależną od \(\displaystyle{ x}\), że gdy \(\displaystyle{ |y-y_{0}|< \delta}\) to \(\displaystyle{ |f(x,y)- \phi (x)|< \epsilon}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\) ze bioru \(\displaystyle{ X}\) jednocześnie, to mówimy, że funkcja \(\displaystyle{ f(x,y)}\) dąży do funkcji granicznej \(\displaystyle{ \phi (x)}\) jednostajnie względem \(\displaystyle{ x}\) w obszarze \(\displaystyle{ X}\).
Potrzebuje znaleźć odpowiedni przykład funkcji zbieżnej jednostajnie do jakiejś funckji granicznej (wg wyżej wymienionej definicji).
Nie wiem, czy dobrze zrozumiałem definicję. Weźmy np funkcję \(\displaystyle{ f(x,y)=x^{y}}\) określoną na zbiorze \(\displaystyle{ }\)
Zbieżność jednostajna do funkcji granicznej
-
g
- Użytkownik
- Posty: 1446
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
Zbieżność jednostajna do funkcji granicznej
dokladnie tak jak mowisz. dla kazdego uprzednio obranego \(\displaystyle{ y_0}\) jest osobna funkcja graniczna.
-
roman_g
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 23 maja 2006, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 2 razy
Zbieżność jednostajna do funkcji granicznej
OK, weźmy w takim razie funkcję \(\displaystyle{ f(x,y)=x^{y}}\) określoną na zbiorze \(\displaystyle{ (0,1) (0,1)}\) i niech punkt skupienia \(\displaystyle{ y_{0}= \frac{1}{2}}\). Z warunku 1) dostajemy, że \(\displaystyle{ \phi (x) = x^{\frac{1}{2}}}\), ale JAK udowodnić warunek 2) wyżej wymienionej definicji? Czy on w ogóle zachodzi w tym przypadku?
[ Dodano: 13 Październik 2006, 09:43 ]
Wymyśliłem inny (chyba prostszy) przykład i prosiłbym o sprawdzenie.
Niech \(\displaystyle{ f(x,y)=2x^{2} - 3y^{3}}\) będzie określona w dwuwymiarowym zbiorze \(\displaystyle{ }\). Jako punkt skupienia zbioru \(\displaystyle{ Y}\) obierzmy sobie \(\displaystyle{ y_{0} =1}\). Z warunku 1) definicji dostajemy, że \(\displaystyle{ \phi (x) = 2x^{2} - 3}\). Musimy jeszcze pokazać warunek 2) tzn, że jesli tylko \(\displaystyle{ |y-1|< \delta}\) to \(\displaystyle{ |2x^{2} - 3y^{3}-(2x^{2} - 3)|< \epsilon}\).
Dowód:
\(\displaystyle{ |2x^{2} - 3y^{3}-(2x^{2} - 3)|=|-3y^{3}+3|=3|y^{3}-1|=3|y-1|(y^{2}+y+1) }\) do funkcji \(\displaystyle{ \phi (x) = 2x^{2} - 3}\) (przy ustalonym \(\displaystyle{ y_{0} =1}\))?
[ Dodano: 13 Październik 2006, 09:43 ]
Wymyśliłem inny (chyba prostszy) przykład i prosiłbym o sprawdzenie.
Niech \(\displaystyle{ f(x,y)=2x^{2} - 3y^{3}}\) będzie określona w dwuwymiarowym zbiorze \(\displaystyle{ }\). Jako punkt skupienia zbioru \(\displaystyle{ Y}\) obierzmy sobie \(\displaystyle{ y_{0} =1}\). Z warunku 1) definicji dostajemy, że \(\displaystyle{ \phi (x) = 2x^{2} - 3}\). Musimy jeszcze pokazać warunek 2) tzn, że jesli tylko \(\displaystyle{ |y-1|< \delta}\) to \(\displaystyle{ |2x^{2} - 3y^{3}-(2x^{2} - 3)|< \epsilon}\).
Dowód:
\(\displaystyle{ |2x^{2} - 3y^{3}-(2x^{2} - 3)|=|-3y^{3}+3|=3|y^{3}-1|=3|y-1|(y^{2}+y+1) }\) do funkcji \(\displaystyle{ \phi (x) = 2x^{2} - 3}\) (przy ustalonym \(\displaystyle{ y_{0} =1}\))?