Sprawdź czy relacja jest funkcją

[plancys]

a) \(\displaystyle{ R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{Z} , xRy \Leftrightarrow x^{3} =y^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ R \subseteq \mathcal{P}( \mathbb{N} ) \times \mathcal{P}( \mathbb{N} ), ARB \Leftrightarrow A \cup B = \mathbb{N}}\)
Bardzo bym prosił o przykładowe rozwiązanie, ponieważ za 2 dni mam egzamin, a to jedno z jego podstawowych zagadnień.

[Jan Kraszewski]

Wiesz, kiedy relacja jest funkcją?

JK

[plancys]

Wiem. Znam te dwa magiczne warunki. Wiem też, że te dwie relacje nie są funkcjami. Problem w tym, że zapis u mnie kuleję i miałbym spokojną głowę jeśli ktoś pokazałby mi sposób dobrego, formalnego zapisu.

podpunkt a) zrobiłbym następująco:
\(\displaystyle{ (x, y_{1}) \in R \wedge (x, y_{2}) \in R \Rightarrow y_{1} ^{2} = y_{2} ^{2}
\Leftrightarrow (y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2}) = 0
\Leftrightarrow y_{1} = y_{2} \vee y_{1} = - y_{2}}\) a ten drugi warunek nie spełnia warunku funkcji więc ta relacja nie jest funkcją. Dobrze?

Na podpunkt b) nie mam pomysłu.

[Jan Kraszewski]

Niezbyt. Jeżeli relacja nie jest funkcją, to trzeba podać kontrprzykład, czyli dwie pary o tym samym poprzedniku i różnych następnikach, np. w a):

Relacja \(\displaystyle{ R}\) nie jest funkcją, bo \(\displaystyle{ (1,1)\in R}\) i \(\displaystyle{ (1,-1)\in R}\), zatem warunek jednoznaczności nie jest spełniony.

W b) tak samo.

JK

[plancys]

Niezbyt. Jeżeli relacja nie jest funkcją, to trzeba podać kontrprzykład, czyli dwie pary o tym samym poprzedniku i różnych następnikach....

To w jaki sposób udowodnić, jeżeli relacja jest funkcją?
np. dla relacji \(\displaystyle{ R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{Z} , xRy \Leftrightarrow x^{2} =y^{3}}\)

[Jan Kraszewski]

To w jaki sposób udowodnić, jeżeli relacja jest funkcją?
np. dla relacji \(\displaystyle{ R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{Z} , xRy \Leftrightarrow x^{2} =y^{3}}\)

Z definicji - wtedy masz do czynienia z twierdzeniem ogólnym, czyli ustalasz dwie dowolne pary (o tym samym poprzedniku) \(\displaystyle{ (x,y_1),(x,y_2)\in R}\) i pokazujesz, że wtedy \(\displaystyle{ y_1=y_2}\). Np. w tym przypadku masz, że \(\displaystyle{ y_1^3=x^2=y_2^3}\), zatem \(\displaystyle{ y_1^3=y_2^3}\), zatem \(\displaystyle{ y_1=y_2}\) (bo możesz obustronnie wyciągnąć pierwiastek 3. stopnia).

JK