Wyznaczanie asymptot.

[Feluri]

nie mówie że kłamiesz tylko całkiem mnie to z tropu zbiło..... to jak mam wyrażenie typu \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) to NIGDY nie moge mnożyć przez x?? czy tylko w sprawach funkcji i dziedziny??

[adambak]

nie chodzi o samo wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) - z niego tylko ważne jest to że trzeba zrobić założenie \(\displaystyle{ x \neq 0}\) bo przez zero nie wolno dzielić. Ważne jest tutaj co innego - nierówność. Otóż ustaliliśmy, że aby znaleźć dziedzinę, to trzeba rozwiązać nierówność:

\(\displaystyle{ e + \frac{1}{x} >0}\) bo tak wynika z definicji, logarytmu, że liczba logarytmowana musi być większa niż zero. No i teraz rozwiązujemy nierówność, jak mamy takie ułamki z \(\displaystyle{ x}\) w mianowniku, to innej opcji raczej nie ma, nić pomnożyć przez \(\displaystyle{ x^{2}}\), bo tylko wtedy jesteśmy pewni, że mnożymy przez liczbę dodatnią (zero też odrzucamy wcześniej, poza tym mnożenie przez zero tutaj nie miałoby większego sensu matematycznego) i dzięki temu możemy zachować nierówność w postaci takiej jak była (znak). No bo co, można spokojnie pomnożyć nierówność stronami przez \(\displaystyle{ 2}\), prawda? Ale już kiedy mnożymy ją stronami przez \(\displaystyle{ -2}\) to trzeba zmienić znak z \(\displaystyle{ >}\) na \(\displaystyle{ <}\). Zawsze kiedy mnożymy nierówność przez liczbę ujemną to zmieniamy znak. Oczywiście można rozpatrywać przypadki, ale zdecydowanie wygodniej jest mnożyć przez dodatnią i dalej rozwiązywać. I takie przykłady, rozwiąż nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{8}{2x+5} + 2x < 0}\)

aby było łatwiej rozwiązywać, lepiej pomnożyć przez \(\displaystyle{ (2x+5)^{2}}\) i mieć spokój ze znakiem, a dalej aby otrzymać odpowiedź rozwiązywać:

\(\displaystyle{ 8(2x+5) + 2x(2x+5)^{2} < 0}\)

bo wychodzi na to samo i jest wygodniej. Co innego gdy jesteśmy pewni że na przykład to przez co pomnożymy jest liczbą dodatnią, wtedy bez problemu, np:

wykaż że dla każdego \(\displaystyle{ x>0}\) jest prawdziwe \(\displaystyle{ x^{3} + \frac{3}{x} \ge 4}\)

wtedy skoro wiemy, że \(\displaystyle{ x>0}\) to spokojnie można przez niego pomnożyć i dalej przeprowadzać dowód, ale oczywiście pomnożenie przez kwadrat też nie będzie błędem.

W naszym zadaniu ze znalezieniem asymptoty \(\displaystyle{ xln(e+\frac{1}{x})}\) na początku dziedziny nie znamy, a więc jej szukamy. Zapisując nierówność:

\(\displaystyle{ e+ \frac{1}{x}>0}\) nie wiemy czy te iksy w dziedzinie, są dodatnie, czy ujemne, czy takie i takie, bo mamy dopiero je znaleźć. Dlatego mnożymy przez kwadrat dla pewności i będąc spokojnymi o znak nierówności (bo przecież nic się nie stało, po prostu pomnożyliśmy nierówność stronami o pewną liczbę dodatnią) rozwiązujemy dalej i szukamy dziedziny

[Feluri]

no ale ty ciagle mowisz o funkcji... to juz dawno przetrawiłam... a ja sie pytam czy w każdym rozdziale matematyki tak jest.... np ze jak mam \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=2}\) to nie moge mnożyć przez x bo nie wiem jakie ma znak? o.O-- 28 sty 2011, o 01:53 --albo np w układach rownań....

[adambak]

Nie no w równości takiej jak podałaś i każdej innej to możesz mnożyć przez \(\displaystyle{ x}\), bo czemu nie? Czy mnożąc \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=2}\) przez np \(\displaystyle{ -8}\) musisz coś robić poza.. wymnożeniem? Oczywiście że nie. Otrzymujesz \(\displaystyle{ -8x - \frac{8}{x}=-16}\) i koniec, prawda. Tylko nierówności są takie specyficzne, że:

\(\displaystyle{ x<2}\) możesz pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\) otrzymując \(\displaystyle{ 2x<4}\) ale jak będziesz chciała pomnożyć przez \(\displaystyle{ -2}\)? Musisz wtedy zapisać \(\displaystyle{ -2x>-4}\) sprawdź że wtedy implikacja jest prawdziwa. Jak masz do rozwiązania \(\displaystyle{ -10x<25}\) no to aby wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) to musisz podzielić przez \(\displaystyle{ -10}\) robiąc to tak: \(\displaystyle{ x>-2,5}\) i tak dalej. Konkretne liczby podaję, aby było to bardziej obrazowo wytłumaczone, ale oczywiście chodzi też o wymnażanie przez samo \(\displaystyle{ x}\). Takie coś \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=2}\) oczywiście że mnożysz przez \(\displaystyle{ x}\) i otrzymujesz \(\displaystyle{ x^{2} + 1=2x}\) i wszystko jest w porządku, nieważne jaki znak ma \(\displaystyle{ x}\) to tylko równość. Z nierównościami jak pokazałem znak potrafi się zmieniać, a więc tam takiej wygody nie ma przy szukaniu wartości \(\displaystyle{ x}\).