moc zbiorów

[amave]

Wyznaczyć moc zbiorów:

a) wszystkich prostych przechodzących przez początek układu w \(\displaystyle{ R^{3}}\)
b) wszystkich okręgów parami rozłącznych w \(\displaystyle{ R^{2}}\)

mógłby mi ktoś to wytłumaczyć?

[epicka_nemesis]

a)
Najpierw rozpatrzmy przestrzeń \(\displaystyle{ R^{2}}\). Taki zbiór jest podprzestrzenia
liniowa wymiaru 1 przestrzeni R2.Oczywiscie takich linii prostych mozemy narysowac
nieskonczenie wiele, z tym tylko zastrzezeniem, by przecinały poczatek układu,
kazda z nich bedzie podprzestrzenia liniowa wymiaru 1 przestrzeni \(\displaystyle{ R^{2}}\). Przenoszac sie do wyzszego wymiaru, do przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\), mozemy sie spodziewac analogii. I w istocie – podprzestrzeniami wymiaru 1 w dalszym ciągu sa linieproste przechodzace przez poczatek układu współrzednych. Podprzestrzeniami wymiaru 2 staja sie wszystkie mozliwe płaszczyzny przechodzace przez punkt (0, 0, 0). Wygenerowac je mozna poprzez wybranie dwóch niezaleznych wektorów przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) i rozpinajac na nich przestrzen liniowa.

[Mikolaj9]

a) Są to proste o równaniach postaci \(\displaystyle{ z=ax+by}\). Zauważmy, że takich prostych jest tyle, ile par (a,b), czyli ich zbiór jest mocy \(\displaystyle{ |\mathbb R^{2}|=|\mathbb R|}\)

b) Tu mogę się mylić, ale mam taki pomysł: Możemy wziąć zbiór okręgów o środku w punkcie (0,0):
\(\displaystyle{ A=\{O_{r}:r \in \RR^{+}\}}\)
\(\displaystyle{ O_{r}=\{(x,y)\in \mathbb R^{2}: x^{2}+y^{2}=r^{2}\}}\)
Wówczas \(\displaystyle{ |A|=|\mathbb R|}\).
Ale trzeba by jeszcze pokazać, że więcej okręgów na płaszczyźnie nie da się upchnąć. No ale w "najgorszym" przypadku każdemu punktowi płaszczyzny (bez co najmniej jednego - tego się nie da uniknąć, chyba że przyjmiemy, że punkt też jest okręgiem) odpowiadałby jeden okrąg (każdemu inny), bo jeśli odpowiadało by mu ich więcej, to na pewno stracili byśmy rozłączność. To takie bardzo grube górne oszacowanie

[Jan Kraszewski]

koszerny_rozum, Twoja odpowiedź nijak miała się do pytania. To było pytanie z teorii mocy, a nie z algebry liniowej.

A pytanie b) jest źle sformułowane. Nie ma czegoś takiego jak "zbiór wszystkich okręgów parami rozłącznych w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)".

JK

[tomsonwch]

Zapewne chodzi o wszystkie okręgi na płaszczyźnie nie mające punktów wspólnych. Należy zauważyć, że w środku każdego okręgu leży punkt o współrzędnych wymiernych. Chyba, że się mylę to proszę mnie poprawić.

[Jan Kraszewski]

Nie możesz mówić o wszystkich okręgach parami rozłącznych, bo to nie ma sensu. Możesz zapytać się o maksymalną możliwą moc rodziny okręgów parami rozłącznych. Natomiast nie wiesz nic o ich środkach, więc nie wiem, dlaczego piszesz

Należy zauważyć, że w środku każdego okręgu leży punkt o współrzędnych wymiernych.

JK

[tomsonwch]

To może się poprawię.
Rozważamy rodzinę okręgów, z których każdy ma niezerowy promień. We wnętrzu każdego okręgu znajduje się punkt o współrzędnych wymiernych, ponieważ liczby wymierne są gęste w \(\displaystyle{ R}\), wniosek taki, że moc rodziny takich okręgów równa jest \(\displaystyle{ |Q \times Q|}\).
Oczywiście wg mnie co nie musi być prawdą.

[Jan Kraszewski]

Rozważamy rodzinę okręgów, z których każdy ma niezerowy promień. We wnętrzu każdego okręgu znajduje się punkt o współrzędnych wymiernych, ponieważ liczby wymierne są gęste w \(\displaystyle{ R}\), wniosek taki, że moc rodziny takich okręgów równy jest \(\displaystyle{ Q \times Q}\).

Po pierwsze, jakie zadanie rozwiązujesz?
Po drugie, to co napisałeś nie jest prawdą. Okręgi nie mają wnętrza. Chyba, że miałeś na myśli koła.

JK