4 zadania z algebry

[vomit]

bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu takich zadanek:

1. Niech \(\displaystyle{ f : X \to Y}\) oraz niech \(\displaystyle{ C,D \subseteq X}\). Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ f(C\cap D) =
f(C) \cap f(D)}\) oraz \(\displaystyle{ f(C \cup D) = f(C) \cup f(D)}\)? Podaj dowód lub kontrprzykład.

2. Zaproponuj bijekcje pomiędzy zbiorami:
a) \(\displaystyle{ \NN}\) i \(\displaystyle{ \ZZ}\)
b) \(\displaystyle{ \ZZ}\) i \(\displaystyle{ \QQ}\)
c) \(\displaystyle{ A= \{0, 1\}^\NN}\) i \(\displaystyle{ P(\NN)}\)

3. Niech \(\displaystyle{ A = \{1, . . . , n\}}\) oraz niech \(\displaystyle{ f : A \to A}\). Wykaż, że następujące warunki sa równoważne:
a) f jest iniekcją
b) f jest suriekcją
c) f jest bijekcją

4. Uzasadnij, że funkcja \(\displaystyle{ f : \NN^2 \to \NN}\) określona wzorem:
\(\displaystyle{ f(a, b) = (a + b + 1)(a + b) + a}\)
jest iniekcją.

z góry dzięki za pomoc. pozdrawiam

[el payaco]

1. Niech \(\displaystyle{ y\in Y \\ y\in f(C\cup D) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \exists (z \in C \cup D)[y=f(z)] \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \exists z [z \in C\cup D \wedge y=f(z)] \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \exists z[(z \in C \vee z \in D)\wedge y=f(z)] \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \exists z [(z \in C \wedge y=f(z)) \vee (z \in D \wedge y=f(z))] \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\exists (z) z \in C \wedge y=f(z)) \vee (\exists (z) z \in D \wedge y=f(z)) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow y \in f(C) \vee y \in f(D) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow y \in f(C) \cup f(D)}\)
Natomiast w \(\displaystyle{ f(C\cap D)=f(C) \cap f(D)}\) prawdziwe jest tylko takie zawieranie:
\(\displaystyle{ f(C\cap D)\subseteq f(C) \cap f(D)}\) co w razie potrzeby mogę udowodnić

wlaświe wpadłem na pomyśł kontrprzykładu:
\(\displaystyle{ f(C\cap D)=f(C) \cap f(D)}\)
\(\displaystyle{ A_1=(-\infty ;0)\ \ \ A_2=(0;\infty) \\ \forall (a \in A_1,A_2) f(a)=1 \\ A_1\cap A_2=\emptyset \Rightarrow f[A_1\cap A_2]=\emptyset \ \ \ \ f[A_1] \cap f[A_2]=\{1\}}\). Stąd: \(\displaystyle{ f(C\cap D)\ne f(C) \cap f(D)}\)

\(\displaystyle{ 2.\ \ f:\NN\to\ZZ \\ f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}\ dla\ x\ parzystych\\0\ dla\ x=0\\-(\frac{x+1}{2})\ dla\ x\ nieparzystych\end{array}\right.}\)

ps. temat zmieniłbym na: "Wstęp do matematyki" lub na "Podstawy logiki i teori mnogości"