podwójny moduł

[Harahido]

Mam rozwiązać równanie :
\(\displaystyle{ \left| |2x+3|+3\right|=3}\)
najpierw opuszczam pierwszy moduł i mam :
\(\displaystyle{ |2x+3|+3=3}\)
\(\displaystyle{ |2x+3|+3=-3}\)
Potem opuszczam drugi i mam :
\(\displaystyle{ 2x+3+3=3}\)
\(\displaystyle{ -2x-3+3=-3}\)

[Althorion]

Aha. A jakie jest pytanie?

[Harahido]

Czy te przekształcenia są dobre? Mój wynik jest inny z wynikiem z tyłu książki.

[Adam656]

Jest źle.
\(\displaystyle{ \left| |2x+3|+3\right|=3 \Rightarrow |2x+3|+3 = 3 \vee |2x+3|+3 = -3 \Rightarrow |2x+3| =0 \vee |2x+3| = -6 \Rightarrow 2x+3 = 0 \Rightarrow x= -1 \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ |2x+3| = -6}\) Wartość bezwzględne jest zawsze większa od zera więc to jest sprzeczne
Adam

[sir_matin]

Tak nie rozwiązujemy równań tego typu!
Wartość bezwzględna dla liczb rzeczywistych to pewnego rodzaju funkcja:
\(\displaystyle{ f(a)= \begin{cases}a \quad dla \quad a \ge 0 \\ -a \quad dla \quad a<0 \end{cases}}\)
Co to za "opuszczam"? Gdzie warunki?
Oczywiście wnioskowanie

Jest źle.
\(\displaystyle{ \left| |2x+3|+3\right|=3 \Rightarrow |2x+3|+3 = 3 \vee |2x+3|+3 = -3 \Rightarrow |2x+3| =0 \vee |2x+3| = -6 \Rightarrow 2x+3 = 0 \Rightarrow x= -1 \frac{1}{2} \\

\left| 2x+3 \right| = -6}\)
Wartość bezwzględne jest zawsze większa od zera więc to jest sprzeczne

jest błędne, rozwiązaniem równania może być zbiór pusty.
Rozwiązywać proponuje od wewnętrznej wartości bezwzględnej lub też zauważając pewną własność.

[Vax]

@sir_matin, rozwiązanie Adama jest poprawne, nawet można to zrobić szybciej, na początku nie musimy już rozpatrywać 2 przypadków:

\(\displaystyle{ ||2x+3|+3| = 3}\)

Zauważ, że lewa strona zawsze będzie dodatnia, stąd mamy:

\(\displaystyle{ |2x+3|+3=3}\)

\(\displaystyle{ |2x+3|=0 \Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}}\)

Pozdrawiam.