Funkcje ortogonalne, szereg Fouriera?

[technofetishist]

Ja wiem, wiem, że to niegodne i nie w stylu, by wklejać tu zadania, których się nie rozumie i nie potrafi rozwiązać. Wybaczcie - rzecz doprowadziła do rozpaczy nie tylko mnie, ale cały rok (cóż, informatyka). Przerasta nas to intelektualnie i to forum jest bodaj jedyną nadzieją.

Zadanie brzmi:

Część 1.

Znaleźć reprezentację funkcji

\(\displaystyle{ f(t) = \left\{\begin{array}{l} 1 \ \ \ \ \ -2 < t < 2 \\0\ \ \ \ \ dla\ pozostałych \end{array}}\)

na przedziale \(\displaystyle{ (-4,4)}\) używając zbioru funkcji ortogonalnych: \(\displaystyle{ \Phi(t) = cos\ n\frac{\Pi}{4}t \ n = 0,1,2...}\) Współczynniki reprezentacji powinny być tak dobrane, by zminimalizować energię błędu.

Zadania są sformułowane w języku angielskim... więc poniżej oryginalne brzmienie, bo być może uroniłem coś w tłumaczeniu:

Find a representation of the function :

\(\displaystyle{ f(t) = \left\{\begin{array}{l} 1 \ \ \ \ \ -2 < t < 2 \\0\ \ \ \ \ elsewhere \end{array}}\)

over the interval \(\displaystyle{ (-4,4)}\) using set of orthogonal functions: \(\displaystyle{ \Phi(t) = cos\ n\frac{\Pi}{4}t \ n = 0,1,2...}\) The coefficients of the representation should be chosen such that the error energy in the representation is a minimum.

Część 2.

Napisać reprezentację funkcji \(\displaystyle{ f(t)}\) podanej powyżej w granicach (?!) zespolonego, wykładniczego szeregu Fouriera na przedziale \(\displaystyle{ (-4,4)}\)

Oryginał:
Write a representation of the function f(x) in terms of the complex exponential Fourier series over the interval (-4,4).

Część 3.

Znaleźć rozwinięcie funkcji opisanej przez wzór \(\displaystyle{ f(t) = t}\) w trygonometryczny szereg Fouriera na przedziale \(\displaystyle{ (0,2)}\).

Oryginał:
Find the expansion of the function described by: \(\displaystyle{ f(t) = t}\) in a trigonometric Fourier series over the interval \(\displaystyle{ (0,2)}\).

______________________________

Matematyku, rozwiązując to zadanie wspomagasz biednych informatyków i dajesz im nadzieję na zaliczenie. Intelektualna jałmużna to wyraz wielkiego serca. Uczyń świat lepszym, rozwiąż zadanie dla zmęczonych życiem informatyków .

[miodzio1988]

Część 3.

Znaleźć rozwinięcie funkcji opisanej przez wzór \(\displaystyle{ f(t) = t}\) w trygonometryczny szereg Fouriera na przedziale\(\displaystyle{ (0,2).}\)

Od najłatwiejszego. Jak wygląda taki szereg Fouriera? Jak wyglądają wzory na wspolczynniki tego szeregu?

[technofetishist]

Po całonocnych bojach udało mi się dojść do czegoś co wygląda następująco:



Czerwona linia, to \(\displaystyle{ f(t) = t \ \ \ na (0,2)}\), zaś zielona, to uzyskany szereg dla \(\displaystyle{ n = 8}\).
Czy to może być poprawne rozwiązanie części trzeciej?

[miodzio1988]

Mamy to analitycznie zrobić...

[technofetishist]

Ale, czy taki - bardzo ogólnie rzecz biorąc - powinien być efekt tej analitycznej heurezy ?