Równanie różniczkowe.

[kris706]

Witajcie. Mam wyznaczyć rozwiązania podanych zagadnień początkowych dla równań liniowych niejednorodnych oraz podać przedziały na których są one określone. Przykład to:
\(\displaystyle{ ty'+y=t+1}\) oraz zagadnienie początkowe \(\displaystyle{ y(1)=0}\). Więc najpierw równanie niejednorodne sprowadzam do jednorodnego czyli:
\(\displaystyle{ ty'+y=0}\), potem podstawiam \(\displaystyle{ u= \frac{y}{t}}\), \(\displaystyle{ y'=u't+u}\), w takim razie:
\(\displaystyle{ u't=-2u}\), całkuję i wychodzi:
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{t}C}\). Stosuję metodę uzmienniania zmienej więc \(\displaystyle{ y= \frac{1}{t}C(t)}\), czyli \(\displaystyle{ y'= -\frac{1}{t^2}C(t)+ \frac{1}{t}C'(t)}\). Podstawiając do równania wyjściowego:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{t}C(t)+C'(t)+\frac{1}{t}=t+1}\). Wyznaczam \(\displaystyle{ C(t)}\) i podstawiam do \(\displaystyle{ y= \frac{1}{t}C(t)}\), więc \(\displaystyle{ y= \frac{1}{t} ( \frac{t^2}{2}+t)}\). Teraz mam pytanie gdzie powinienem wykorzystać fakt, że y(1)=0 i jak określić te przedziały? Proszę o pomoc.

[M Ciesielski]

Skoro wyznaczasz \(\displaystyle{ C(t)}\) całkując \(\displaystyle{ C'(t)}\) pojawi Ci się stała. Razem z tą stałą musisz to do równania podstawić i ją obliczyć korzystając z warunku początkowego.