Kryterium ilorazowe całki

[kris706]

Witajcie. Czy do całki \(\displaystyle{ \int_{ \infty }^{1} \frac{x^2dx}{x^3-sinx}}\) mogę zastosować w kryterium ilorazowym funkcję \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) ? Wychodzi mi wtedy że \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\frac{x^3}{x^3-sinx}=1}\) Z twierdzienia o trzech ciągach. Czy to jest dobry wynik i czy to znaczy, że całka jest zbieżna? Dziękuję za pomoc.

[Lorek]

Czy to jest dobry wynik

Tak.

czy to znaczy, że całka jest zbieżna?

A całka \(\displaystyle{ \int_1^\infty{\frac{1}{x}} \mbox{d}x}\) jest zbieżna?

[kris706]

Nie jest zbieżna. Ale czy nie wystarczy, że wyjdzie jakaś liczba w granicy, żeby stwierdzić, że ta całka jest zbieżna? Czy jak wyjdzie mi jakaś liczba to muszę jeszcze sprawdzić czy funkcja (w tym wypadku \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) jest zbieżna od 1 do \(\displaystyle{ \infty}\) ?

[Lorek]

Jak wychodzi liczba w granicy (tak dokładniej to różna od 0), to oznacza, że całki są tego samego typu (zb-zb albo rozb-rozb).

[kris706]

A jak wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\) albo \(\displaystyle{ -\infty}\) to też odrazu mogę stwierdzić rozbieżność obu całek? Czy muszę "szukać" kolejnej funkcji żeby dała mi po obliczeniu granicy jakąś liczbę?

[Lorek]

Jak wychodzi nieskończoność to to w jedną stronę działa, ze zbieżności "licznika" wynika zbieżność "mianownika".

[kris706]

A jak z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całki \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{x}-3 }}\) ? Szacuję, że \(\displaystyle{ 0 \le \frac{1}{ \sqrt{x}-3 } \le \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x}-3 }}\). Ale przy obliczaniu całki podstawiam \(\displaystyle{ \sqrt{x}=t}\) i nic mi z tego nie wychodzi. Może to jest złe szacowanie?

[Lorek]

No fajnie, ale na jakim przedziale ta zbieżność?

[kris706]

Zapomniałem napisać. \(\displaystyle{ \int_ { 10 }^{ \infty } \frac{dx}{ \sqrt{x}-3 }}\).

[Lorek]

No to możesz zrobić ilorazowe.

[kris706]

Z tym, że w poleceniu mam, że porównawcze.

[Lorek]

To może być i porównawcze, z tym, że szacowanie w tę stronę na pewno ci nic nie da. Coś w drugą stronę musisz wymyślić (np. coś oczywistego).

[kris706]

To w drugą stronę też mogę szacować? Tzn. \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{x} } \le \frac{1}{ \sqrt{x}-3 }}\) byłoby dobrze? I jeśli \(\displaystyle{ \int_{ 10}^{ \infty } \frac{dx}{ \sqrt{x} }}\) byłaby zbieżna to całka \(\displaystyle{ \int_{10}^{ \infty } \frac{dx}{ \sqrt{x} -3}}\) też?

[Lorek]

Wniosek zły, ale jak policzysz \(\displaystyle{ \int_{ 10}^{ \infty } \frac{dx}{ \sqrt{x} }}\) to się domyślisz jaki jest dobry.

[kris706]

Policzyłem i wychodzi na to, że \(\displaystyle{ \int_{10}^{ \infty } \frac{dx}{ \sqrt{x}}}\) jest rozbieżna, tylko teraz nie wiem co z tą całką której miałem określić zbieżność.