Rozwinięcie funkcji w szereg Laurenta.

[Chuleta]

Cześć,

mam problem dotyczący rozwijania funkcji w szereg Laurenta w podanym obszarze. Coś tam rozumiem, ale niestety to "coś" nie wystarcza, żeby samodzielnie rozwiązać jakiekolwiek zadanie Bardzo proszę o pomoc w wyjaśnieniu niektórych kwestii.

Weźmy na przykład funkcję:

\(\displaystyle{ f(z)=\frac{3 z^{2}-1 }{z^{3}-1}}\), dla \(\displaystyle{ 0<|z|<1}\)

Rozumiem, że na początku muszę "rozbić" ten ułamek. Po przekształceniach dochodzę do postaci:

\(\displaystyle{ \frac{3 z^{2}-1 }{z^{3}-1}=\frac{1 }{z}+\frac{1 }{z-1}+\frac{1 }{z+1}}\)

I teraz patrzę na nasz przedział \(\displaystyle{ 0<|z|<1}\) tak?

Widać, że \(\displaystyle{ |z|<1}\) i tu co mam zrobić? Zająć się każdym ułamkiem z osobna?
No więc:

\(\displaystyle{ \frac{1 }{z}=...}\) - nie wiem jak się do tego zabrać :/

\(\displaystyle{ \frac{1 }{z-1}=-\frac{1 }{1-z}= -\sum_{n=0}^{ \infty }z^{n} }}\) - tak?

\(\displaystyle{ \frac{1 }{z+1}=...}\) -też mam problem...

I właśnie powyższy etap sprawia mi najwięcej trudności - nie wiem jak to ugryźć, bo potem (czyli po wyznaczeniu tych szeregów) należy je zsumować, tak?

Będę bardzo wdzięczna za jakieś wskazówki, a gdyby ktoś był tak dobry i rozwiązał to zadanie do końca, to już w ogóle!

[Zordon]

np. \(\displaystyle{ \frac{1}{1+z}=\frac{1}{1-(-z)}}\) i rozwijanko
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=x^{-1}}\) to już jest szereg Laurenta

[Chuleta]

Aha, czyli teraz mam tak :

\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{z}+ \sum_{n=0}^{ \infty } (-z) ^{n}+ \sum_{n=0}^{ \infty } -z ^{n}}\)

dobrze myślę?