Udowodnij...(algebra zbiorów)

[Carl0s]

Udowodnij, ze L=P
1. \(\displaystyle{ (A\cup B)' \cap C=C-[C\cap (A \cup B)]}\)
2. \(\displaystyle{ A\cap (B\cup C)=(A \cap B)\cup (A \cap C)}\)
3. \(\displaystyle{ (A \cap B)'-(B\cap C)'=(B-A)-(B' \cup C')}\)
4. \(\displaystyle{ (A-B)-(C-D)=[A-(B \cup C)] \cup [(A \cap D)-B]}\)
5. \(\displaystyle{ (A-B) \cup (B-A)=(A \cup B)-(A \cap B)}\)

ad. 2: faktycznie to zwykle prawo rozdzielnosci, jakos mi sie ten przyklad zawieruszyl w notatkach i go niechcacy przepisalem

[wb]

1)
\(\displaystyle{ P=C\cap(C^{'}\cup (A\cup B)^{'})=(C\cap C^{'})\cup (C\cap (A\cup B)^{'})= C\cap (A\cup B)^{'})=L}\)

[ Dodano: 7 Październik 2006, 15:18 ]
2) To zwykłe prawo rozdzielności, które łatwo udowodnić na diagramie lub korzystając z takiego prawa w rachunku zdań.

[ Dodano: 7 Październik 2006, 15:42 ]
3)
\(\displaystyle{ L=(A^{'}\cup B^{'})\cap B\cap C=(A^{'}\cap B \cap C)\cup(B^{'}\cap B\cap C=A^{'}\cap B \cap C}\)

\(\displaystyle{ P=((B\cap A^{'})\cap(B^{'}\cup C^{'})^{'}=(B\cap A^{'})\cap B \cap C=B\cap A^{'}\cap B\cap C=A^{'}\cap B \cap C}\)

L=P.

[ Dodano: 7 Październik 2006, 16:00 ]
4)
\(\displaystyle{ P=(A\cap B^{'} \cap C^{'})\cup (A\cap D \cap B^{'})=(A\cap B^{'})\cap(C^{'}\cup D)=(A-B)\cap(C\cap D^{'})^{'}=(A-B)-(C\cap D^{'})=(A-B)-(C-D)=L}\)

[ Dodano: 7 Październik 2006, 16:11 ]
4)
\(\displaystyle{ L=(A\cap B^{'})\cup (B\cap A^{'})=[A\cup (B\cap A^{'})]\cap [B^{'}\cup (B\cap A^{'})]=[(A\cup B)\cap (A\cup A^{'})]\cap [(B^{'}\cup B)\cap (B^{'}\cup A^{'})]= \\ =(A\cup B)\cap (B^{'}\cup A^{'})=(A\cup B)\cap (A\cap B)^{'}=(A\cup B)-(A\cap B)=P}\)

[Carl0s]

ok, dzieki ale nie rozumiem kilku rzeczy...trzeciego przeksztalczenia w przykladzie 3, pierwszego w 4 i pierwszego w 5....

[wb]

ad 3)
Jesli chodzi o stronę L, to trzecie przekształcenie polega na pominięciu zbioru pustego, którym jest:
\(\displaystyle{ B^{'}\cap B \cap C}\)

ad 4) i ad 5)
Stosowałem zamianę odejmowania zbiorów na mnożenie przez dopełnienie odjemnika oraz prawa rozdzielności.