Błąd pomiarowy metodą różniczki zupełnej

[STxPawlo]

Bardzo proszę o pomoc wyznaczenia wzoru na błąd pomiarowy we wzorze:

\(\displaystyle{ E= \frac{I}{r^{2}} \cdot \cos \alpha}\)

[Chromosom]

wzor na to jest, co sprawilo Ci problem?

[STxPawlo]

Nie wiem konkretnie jak się za to wziąć. Na studiach miałem analize 1 i 2 jednak mam wątpliwości co do poprawności obliczenia tego ponieważ dzielenie jest jakby było samo mnożenie to problemu by nie było i dlatego zwróciłem się o pomoc tutaj na forum.

[Chromosom]

zapisz moze jako \(\displaystyle{ \ldots=Ir^{-2}\cos\alpha}\) i bedzie mnozenie

[STxPawlo]

Czyli wyszłoby mniej więcej coś takiego jak widzę:

\(\displaystyle{ \frac{\mbox dI}{I} + \frac{-2\mbox dr}{r} + \frac{-\sin \alpha }{\cos \alpha }}\)

dobrze to policzyłem? Końcówki pewny nie jestem w ogóle...

[Chromosom]

co tutaj jest zmienna w ogole? w pierwszym zle, nie moze zostac \(\displaystyle{ \frac{\mbox dI}{I}}\), we wzorze obliczasz pochodna kazdej zmiennej w danym punkcie pomnozona przez wartosc niepewnosci pomiarowej, drugi skladnik zle, trzeci tez, skorzystaj ze wzoru na pochodna iloczynu

[STxPawlo]

szczerze nie mam pojecia jak sie za to teraz wziac... bo pochodna z I jako zmiennej byłaby równa 1 a to jeszcze przyrownac mam do bledu pomiarowego i gubie sie w tym

[Chromosom]

dobrze, rowna 1 i pomnozone przez stala, pomnoz teraz przez \(\displaystyle{ \Delta I}\) czyli niepewnosc wyznaczenia \(\displaystyle{ I}\)

[rtuszyns]

Bardzo proszę o pomoc wyznaczenia wzoru na błąd pomiarowy we wzorze:

\(\displaystyle{ E= \frac{I}{r^{2}} \cdot \cos \alpha}\)

Najpierw musimy wiedzieć, które zmienne były wyznaczane (są obarczone błędem pomiarowym)...

[STxPawlo]

Obarczone błędem były zmienne dI oraz dr.

[Chromosom]

czyli pochodna po zmiennej \(\displaystyle{ I}\) juz masz, teraz po \(\displaystyle{ r}\) tak samo, jak bys obliczyl pochodna po \(\displaystyle{ r}\) gdyby to byla funkcja tylko zmiennej \(\displaystyle{ r}\) a wszystko inne byloby stala?

[STxPawlo]

po r wyszłoby \(\displaystyle{ \frac{-2}{ r^{3} }}\) jednak jak to przyrownac to bledow pomiarowych no i co z tym cosinusem?

[Chromosom]

\(\displaystyle{ \cos\alpha}\) jest tylko wartoscia stala przez ktora mnozysz wszystko, pochodnej nie musisz liczyc w tym przypadku, pochodna po \(\displaystyle{ r}\) dobrze masz, teraz pomnoz przez \(\displaystyle{ \Delta r}\) i otrzymasz wartosc niepewnosci

[rtuszyns]

Czyli mamy
\(\displaystyle{ E=E(I,r)=\frac{I}{r^2}\cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ \ln E=\ln\left(\frac{I}{r^2}\cos\alpha\right)}\)

\(\displaystyle{ \ln E=\ln I-2\ln r+\ln\cos\alpha}\)

Różniczkując dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{\partial E}{|E|}=\frac{\partial I}{|I|}-2\frac{\partial r}{|r|}}\)

Przechodząc do całkowitych przyrostów otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \frac{\Delta E_{\max}}{|E|}=\frac{\Delta I_{\max}}{|I|}-2\frac{\Delta r_{\max}}{|r|}}\)

i ostatecznie:

\(\displaystyle{ {\Delta E_{\max}}=E\left(\frac{\Delta I_{\max}}{|I|}-2\frac{\Delta r_{\max}}{|r|}\right)}\)

[STxPawlo]

dziękuję bardzo mam jeszcze jedno pytanko odnośnie jednego błędu pomiarowego:

\(\displaystyle{ n= \frac{I}{M}}\)
z tego wyszło mi, że błąd obliczamy:
\(\displaystyle{ dn=( \frac{dI}{I} - \frac{dM}{M} ) \cdot n}\)

Patrząc analogicznie na powyższe rozwiązanie myślę, że jest to dobrze rozwiązanie mimo wszystko doktor zaznaczył mi minus w tym przykładzie tak jakby wskazując mój błąd. Mógłby ktoś potwierdzić lub może naprowadzić mnie gdzie jest tam błąd?