Pochodna funkcji

[Psycho]

Potrzebuję policzyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ f=(x+1) \cdot \sqrt[3]{ \frac{x-1}{x+1} }}\) w ramach określenia przebiegu zmienności tej funkcji. Niestety ta pochodna, która mi wychodzi jest za trudna do określenia kiedy jest większa lub mniejsza od zera. Z góry dzięki za pomoc

[Chromosom]

bardziej pasuje do dzialu "rachunek rozniczkowy", natomiast co do pochodnej to caly czas posluguj sie wykladnikiem wymiernym, nie pierwiastkiem, pokaz do czego doszedles to Ci powiem co mozesz zrobic

[Psycho]

Posługiwałem się wykładnikiem wymiernym oraz pochodną funkcji złożonej i doszedłem do takiej pochodnej:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1} } + \frac{2}{3} \cdot \sqrt[3]{ \frac{1}{(x+1) \cdot (x-1)^{2}} }}\)
Byćmoże zrobiłem gdzieś błąd, lecz narazie nie przepisuje jak to obliczałem ( bo troszeczkę nie mam czasu), ale jeżeli będzie taka potrzeba to przepiszę

[Chromosom]

pierwszy skladnik dobrze, drugi zle, jesli chcesz sprawdzic wynik to musisz przepisac bo inaczej nie bede w stanie sprawdzic gdzie zrobiles blad, jesli natomiast nie masz czasu to podpowiem ze mozesz sprobowac wylaczyc przed nawias \(\displaystyle{ \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-\frac23}}\) i wtedy zostanie Ci funkcja wymierna wewnatrz

[Psycho]

Nie bardzo potrafię o tej porze skminić o co Ci chodzi więc chyba szybciej będzie jak przepiszę moje głupoty
\(\displaystyle{ f'(x \right) = \left[ \left( x+1 \right) \cdot \sqrt[3]{ \frac{x-1}{x+1} } \right] '= \left( x+1 \right) ' \cdot \left( \frac{x-1}{x+1} \right) ^{ \frac{1}{3} } + \left( x+1 \right) \cdot \left[ \frac{x-1}{x+1} ^{ \frac{1}{3} } \right] ' = \frac{x-1}{x+1} ^{ \frac{1}{3} } + \left( x+1 \right) \cdot \left( \frac{x-1}{x+1} \right) ' \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{x-1}{x+1} \right) ^{- \frac{2}{3} } =
\left( \frac{x-1}{x+1} \right) ^{ \frac{1}{3} } + \left( x+1 \right) \cdot \frac{ \left( x-1 \right) ' \cdot \left( x+1 \right) - \left( x-1 \right) \cdot \left( x+1 \right) '}{ \left( x+1 \right) ^{2}} \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{x+1}{x-1} \right) ^{ \frac{2}{3} } = \sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1} } +
\frac{2}{x+1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{x+1}{x-1} \right) ^{ \frac{2}{3} } = \sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1} } + \frac{2}{3} \cdot \sqrt[3]{ \frac{1}{ \left( x+1 \right) \cdot \left( x-1 \right) ^{2}} }}\)

[Chromosom]

zauwaz ze w pewnej chwili w wykladniku zamiast \(\displaystyle{ -\tfrac23}\) zaczynasz pisac \(\displaystyle{ \tfrac23}\), ale napisze Ci moze w skrocie jak mozesz to latwiej zrobic:
\(\displaystyle{ \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac13}+(x+1)\cdot\frac13\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-\frac23}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^\prime=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac13}+(x+1)\cdot\frac13\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-\frac23}\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^\prime}\)
i teraz latwo obliczysz pochodna tego ostatniego czynnika, potem wylacz przed nawias \(\displaystyle{ \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{-\frac23}}\)

[Psycho]

Sorry, ale przy tej zmianie z \(\displaystyle{ - \frac{2}{3}}\) na \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) zamieniam licznik z mianownikiem, a po obliczeniu tego co Ty napisałeś wychodzi tak sam wynik jak u mnie.. dałbyś radę to rozpisać jeszcze troszeczkę?

[Chromosom]

albo jak ja na Twoje obliczenia patrzylem to myslalem ze jest zle a bylo dobrze, ale z tego co napisalem jak skorzystasz to Ci latwiej bedzie bo tutaj tylko wylaczasz przed nawias

[Psycho]

No wyszło mi takie coś \(\displaystyle{ \left( \frac{x-1}{x+1} \right) ^{- \frac{2}{3} } \cdot \left( \frac{x- \frac{1}{3} }{x+1} \right)}\)
Chyba dobrze? Dzięki wielkie za pomoc

[Chromosom]

tak