VIII konkurs i. Hugona Steinhausa

[moniczka012]

Witam. Czy mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu zadania z konkursu im. Steinhausa. To zadanie było przeznaczone dla uczniów klas 2liceum.
Treść zad. Udowodnij, że nie istnieją parami różne liczby pierwsze spełniające dane równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ a^{2} } + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{d^{2}}}\)

[marcinz]

Podpowiedź:
Sprowadź do wspólnego mianownika każdą ze stron.

[moniczka012]

hmmm..sprowadziłam i wykonałam też już dużo innych przekaształceń ale niczego z tego nie wnioskuje..

[prox]

Wymnażasz obustronnie przez \(\displaystyle{ a^{2}b^{2}c^{2}d^{2}}\) i przenosisz wyrazy np. z \(\displaystyle{ a^{2}}\) na jedną stronę wyciągając \(\displaystyle{ a^{2}}\) przed nawias. Ponieważ mamy do czynienia z liczbami pierwszymi to jedna ze stron równania jest podzielna przez \(\displaystyle{ a^{2}}\) a druga nie, c.k.d

[moniczka012]

Dziękuję bardzo...w zasadzie do tego doszłam ale nie wiedziałam do końca jak to uzasadnić i czy to wystarczy..ale teraz widze, że tak..jeszcze raz dziękuję.Pozdrawiam

[luk06]

Witam

mógłby ktoś napisał po kolei jak to trzeba zrobić ?

[nobuddy]

Ja bym tak to widział:

Ukryta treść:    

Zakładam że takie liczby są i że są to liczby a, b, c, d. Wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^{2}}+ \frac{1}{b^{2}}=\frac{1}{c^{2}}+ \frac{1}{d^{2}}}\)

Mnożę obustronnie przez \(\displaystyle{ a^{2}b^{2}c^{2}d^{2}}\)

\(\displaystyle{ a^{2}b^{2}(c^{2}+d^{2})=c^{2}d^{2}(a^{2}+b^{2})}\)

\(\displaystyle{ a^{2}b^{2}}\) nie może dzielić \(\displaystyle{ c^{2}d^{2}}\) bo a, b, c, d to liczby pierwsze
\(\displaystyle{ a^{2}b^{2}}\) nie może dzielić \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}}\) bo \(\displaystyle{ a^{2}b^{2}>a^{2}+b^{2}}\) co łatwo udowodnić (dla \(\displaystyle{ a>1}\))

Mamy więc sprzeczność, bo obie strony są naturalne.

Nie dokładnie tak jak pisał prox ale powinno być ok.

[luk06]

dziękuje

[Acros]

Ja chciałbym zapytać czy mój sposób jest dobry
\(\displaystyle{ \frac{1}{a ^{2} }+ \frac{1}{b ^{2} } = \frac{1}{c ^{2} } + \frac{1}{d ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+ b^{2} }{ a^{2}*b ^{2} } = \frac{c ^{2}+ d^{2} }{ c^{2}*d ^{2} }}\)
co jest nie możliwe bo w tym przypadku albo mianownik i licznik po prawej stronie równania musiałyby być takie jak i po lewej albo być ich wielokrotnościami