[MIX] Zadania treningowe przed drugim etapem OM - 3 seria.

[Qń]

Prawie wszystkie zadania z drugiej serii padły błyskawicznie, wrzucam więc serię trzecią (jak się zdaje - odrobinę prostszą). Zachowuję numerację zadań z kartki.

Link do pierwszej serii
Link do drugiej serii
[url=http://www.matematyka.pl/258971.htm]Link do serii przedfinałowej[/url]

(zadania, których pełne rozwiązania zostały podane, są zaznaczone na zielono)

Zadanie 25 - rozwiązane przez KPR
Dany jest taki ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) liczb nieujemnych, że \(\displaystyle{ a_{n+m}\le a_n+a_m}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ m,n\in \mathbb{N}}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ a_n\le ma_1+ \left( \frac nm - 1 \right) a_m}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge m}\).

Zadanie 26
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1,x_2,\ldots , x_{1997}}\) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ (1)}\) \(\displaystyle{ -\frac{1}{\sqrt{3}}\le x_i \le \sqrt{3}}\) (\(\displaystyle{ i=1,2,\ldots , 1997}\))
\(\displaystyle{ (2)}\) \(\displaystyle{ x_1+x_2+\ldots x_{1997}=-318\sqrt{3}}\)
Wyznacz maksimum sumy \(\displaystyle{ x_1^{12}+x_2^{12}+ \ldots +x_{1997}^{12}}\).

Zadanie 27 - rozwiązane przez timona92
Cięciwy \(\displaystyle{ AA',BB',CC'}\) pewnej sfery, nie leżące w jednej płaszczyźnie, przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Sfera przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ P,A,B,C}\) jest styczna do sfery przechodzącej przez \(\displaystyle{ P,A',B',C'}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ |AA'|=|BB'|=|CC'|}\)

Zadanie 28
Sześcian o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) jest wpisany w czworościan foremny o krawędzi \(\displaystyle{ 1}\). Wyznacz wszystkie możliwe wartości \(\displaystyle{ a}\).

Zadanie 29 - rozwiązane przez mzs
Dane są takie wielomiany \(\displaystyle{ f,g\in \mathbb{Z}[x]}\), że \(\displaystyle{ f(\alpha )=f(\alpha +1997)=0}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in\mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ g(1998)=2000}\). Udowodnij, że wielomian \(\displaystyle{ h(x)=g(f(x))-1}\) nie ma pierwiastków całkowitych.

Zadanie 30
Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisany w okrąg, którego przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Udowodnij, że punkt \(\displaystyle{ P}\) oraz punkty przecięcia wysokości trójkątów \(\displaystyle{ QAD}\) i \(\displaystyle{ QBC}\) leżą na jednej prostej.

Zadanie 31
Wszystkie krawędzie sześcianu oraz jego przekątne i przekątne jego ścian pomalowano na biało lub czarno (każdy z wymienionych odcinków na jeden kolor). Udowodnij, że istnieją dwa różne czworokąty o wierzchołkach w wierzchołkach danego sześcianu i bokach jednego koloru.

Zadanie 32 - rozwiązanie podlinkowane przez Dumla i zredagowane przez Qnia
Funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+}\) spełnia dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}_+}\) warunek \(\displaystyle{ f(xy)\le f(x)f(y)}\). Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}_+}\) oraz każdego naturalnego \(\displaystyle{ n\ge 1}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ f(x^n)\le f(x)\cdot \sqrt{f(x^2)}\cdot \sqrt[3]{f(x^3)}\cdot \ldots\cdot\sqrt[n]{f(x^n)}}\)

Zadanie 33 - rozwiązane przez timon92
Dany jest czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\), którego wysokości przecinają się w jednym punkcie. Udowodnij, że jeżeli punkt ten jest środkiem sfery wpisanej w ten czworościan, to czworościan ten jest foremny.

Zadanie 34 - rozwiązane przez Vaxa
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ x,y,z>-1}\) oraz \(\displaystyle{ x+y+z=3}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\le \frac 32}\)

Zadanie 35 - rozwiązane przez mzs
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:[0,1]\to [0,1]}\), ciągła w \(\displaystyle{ [0,1]}\) oraz spełniająca warunki: \(\displaystyle{ f(0)=f(1)=1}\) i \(\displaystyle{ f\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac 23 f(x)+\frac 13 f(y)}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ 0\le x\le y\le 1}\). Wyznacz \(\displaystyle{ f\left( \frac 17\right)}\)
Uwaga: jak się okazuje, założenie o ciągłości nie jest potrzebne.

Zadanie 36 - rozwiązane przez Brycha i Qnia
Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ p,q}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ (pq)!\ge (p!)^q\cdot (q!)^p}\)

Zadanie 37 - rozwiązane przez Vaxa
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b,c}\) zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}+\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2} \ge \frac 35}\)

Zadanie 38 - rozwiązane przez Qnia
Wielościan wypukły ma ścianę \(\displaystyle{ 100}\)-kątną. Z każdego wierzchołka tego wielościanu wychodzą co najmniej cztery krawędzie. Wykaż, że wielościan ten ma co najmniej \(\displaystyle{ 104}\) ściany trójkątne.

Zadanie 39 - rozwiązane przez timona92
Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\). Okrąg \(\displaystyle{ S_1}\) jest wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), a okrąg \(\displaystyle{ S_2}\) - w trójkąt \(\displaystyle{ ADC}\). Proste równoległe \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) są styczne do tych okręgów w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) przecina odcinki \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\), a prosta \(\displaystyle{ l}\) przecinka odcinki \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ DC}\) w punktach \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ S}\). Wykaż, że punkty przecięcia przekątnych czworokątów \(\displaystyle{ ACQP}\) i \(\displaystyle{ ACSR}\) leżą na prostej \(\displaystyle{ EF}\) wtedy i tylko wtedy, gdy w czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) można wpisać okrąg.

Zadanie 40 - rozwiązane przez Qnia
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a_1,a_2,\ldots a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1,b_2,\ldots b_n}\) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ (1)}\) \(\displaystyle{ a_1b_1\le a_2b_2 \le \ldots \le a_nb_n}\)
\(\displaystyle{ (2)}\) \(\displaystyle{ a_1+a_2+\ldots +a_k \ge b_1+b_2+\ldots +b_k}\) dla każdego \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots , n}\)
Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots +\frac{1}{a_n} \le \frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\ldots +\frac{1}{b_n}}\)

Zadanie 41 - rozwiązane przez timona92
Na bokach \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ CD}\) rombu \(\displaystyle{ ABCD}\) zbudowano trójkąty równoboczne \(\displaystyle{ ADK}\) i \(\displaystyle{ CDM}\), przy czym punkt \(\displaystyle{ K}\) leży po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ AD}\), co i \(\displaystyle{ BC}\), zaś \(\displaystyle{ M}\) leży po przeciwnej stronie \(\displaystyle{ DC}\) niż \(\displaystyle{ AB}\). Udowodnij, że punkty \(\displaystyle{ B,K,M}\) leżą na jednej prostej.
Uwaga - w treści była literówka, na co zwrócił uwagę tometomek91 (dzięki!)

Zadanie 42 - rozwiązane przez smigola
Wyznacz największą wartość \(\displaystyle{ k}\) dla której nierówność
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2\ge k(xy+yz+zx)}\)
zachodzi dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z}\) rzeczywistych.

Zadanie 43 - rozwiązane przez ordyha
Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1+x_2+\ldots +x_{n-1}=\frac{1}{x_n}\\
x_2+x_3+\ldots +x_{n}=\frac{1}{x_1}\\
\dots \\
x_n+x_1+\ldots +x_{n-2}=\frac{1}{x_{n-1}}\end{cases}}\) (\(\displaystyle{ n\ge 2}\))

Zadanie 44 - rozwiązane przez tometomka91
Dane są takie różne liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y,z}\), że \(\displaystyle{ x^2-y=y^2-z=z^2-x}\). Wyznacz wartość iloczynu
\(\displaystyle{ (x+y+1)(y+z+1)(z+x+1)}\)

Zadanie 45 - rozwiązane przez Qnia
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\) równanie:
\(\displaystyle{ f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4f(x)\cdot y}\)

Zadanie 46 - rozwiązane przez KPR
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a_1,a_2,\ldots ,a_n}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a_1a_2\ldots a_n=1}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\ldots +\sqrt{a_n}\le a_1+a_2+\ldots +a_n}\)

Zadanie 47 - rozwiązane przez Vaxa i micharego91
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y}\) spełniają równania
\(\displaystyle{ x^3-3x^2+5x-17=0,y^3-3y^2+5y+11=0}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ x+y}\)

Zadanie 48 - rozwiązane przez ordyha
Wyznacz wszystkie funkcje rzeczywiste \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y,u,v\in\mathbb{R}}\) warunki:
(i) \(\displaystyle{ f(x+y,0)=f(x,y)+2xy}\)
(ii) \(\displaystyle{ f(xu+yv, xv-yu)=f(x,y)\cdot f(u,v)}\)

Powodzenia!

Q.

[Vax]

34:    

Łatwo zauważyć, że dla \(\displaystyle{ x>-1}\) spełniona jest nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} \le \frac{1}{4}x+\frac{1}{4}}\)
Zawija się ona do:

\(\displaystyle{ \frac{(x-1)^2}{x+1} \ge 0}\)

Korzystając z powyższej nierówności mamy:

\(\displaystyle{ L \le \frac{3}{4}+\frac{3}{4} = \frac{3}{2}}\)

[KPR]

46:    

Z AM-GM mamy \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n} \le \sqrt{ \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n} }}\), a z arytmetycznej i kwadratowej \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+\dots+\sqrt{a_n}}{n} \le \sqrt{ \frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}}\). Mnożymy stronami i otrzymujemy tezę.

[Qń]

Vax rozprawił się z zadaniem 34. gołymi rękami. Alternatywnie:

Zadanie 34 - proca:    

Nierówność między średnią arytmetyczną a harmoniczną liczb \(\displaystyle{ x+1,y+1,z+1}\)

Zadanie 34 - armata:    

Nierówność Jensena dla funkcji wklęsłej \(\displaystyle{ f(t)=\frac{t}{t+1}}\)

Q.

[Vax]

37:    

Dana nierówność jest jednorodna, więc możemy założyć, że \(\displaystyle{ a+b+c=3}\), następnie wystarczy zauważyć, że nasza nierówność przyjmuje postać:

\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{} \frac{(3-2a)^2}{(3-a)^2+a^2} \ge \frac{3}{5}}\)

A dla \(\displaystyle{ x\ge -\frac{1}{2}}\) więc tym bardziej dla dodatnich x, zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{(3-2x)^2}{(3-x)^2+x^2} \ge -\frac{18}{25}x+\frac{23}{25}}\)

Dodając 3 takie nierówności mamy:

\(\displaystyle{ L \ge -\frac{54}{25}+\frac{69}{25} = \frac{3}{5}}\)

[KPR]

W 41. chodzi oczywiście o trójkąty równoboczne?

[Qń]

Oczywiście, już mi na privie zwrócono uwagę (i na privie właśnie proponuję wyjaśniać kwestię literówek).

Q.

[tometomek91]

Zad 41.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \Delta KMD, \Delta KAB, \Delta BMC}\) to tójkąty równoramienne i jeżeli nazwiemy \(\displaystyle{ \angle BAD=\alpha}\), to po rozpisaniu katów mamy, że \(\displaystyle{ \angle KMB =180^{o}}\)

Zad 44.

Ukryta treść:    

Z warunku mamy, że \(\displaystyle{ x+y=\frac{y-z}{x-y}}\), \(\displaystyle{ y+z=\frac{z-x}{y-z}}\) i \(\displaystyle{ z+x=\frac{y-x}{z-x}}\) (liczby są rózne więc to ma sens), wstawiając do iloczynu i skracając dostajemy -1.

[smigol]

42.

Ukryta treść:    

Dla \(\displaystyle{ k=1}\) nierówność zachodzi, a dla \(\displaystyle{ k>1}\) bierzemy \(\displaystyle{ x=y=z}\) i mamy \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 =3x^2 \ge k(x^2+x^2+x^2)>3x^2}\), sprzeczność. Stąd największym \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ 1}\).

[Qń]

tometomek91 - w zadaniu 41 równie dobrze może być \(\displaystyle{ \angle KMB = 0^o}\). Jeśli idziemy tą drogą, to trzeba rozpatrzyć dwa (a nawet trzy) przypadki. A może da się znaleźć rozwiązanie, które nie będzie wymagało rozpatrywania różnych przypadków?

Q.

[timon92]

41.

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie takim punktem, że trójkąt \(\displaystyle{ BDX}\) jest równoboczny i punkt \(\displaystyle{ X}\) leży po tej samej stronie prostej \(\displaystyle{ BD}\), co \(\displaystyle{ A}\).

Jest jasne, że punkty \(\displaystyle{ A,X,C}\) są współliniowe.

Obróćmy punkty \(\displaystyle{ A,X,C}\) wokół punktu \(\displaystyle{ D}\) o kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) w "dobrą stronę". Punkty te przejdą na punkty \(\displaystyle{ K,B,M}\) odpowiednio. Oznacza to, że \(\displaystyle{ K,B,M}\) też są współliniowe.

[KPR]

25:    

Niech \(\displaystyle{ n=bm+y}\), gdzie \(\displaystyle{ y<m}\). Wtedy nierówność dana w zadaniu przyjmuje postać (po sum_{}^{} wymnożeniu przez m) \(\displaystyle{ ma_{bm+y} \le m^2 a_1+a_m(bm-m+y)}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ a_{bm+y}\le a_{bm-m}+a_{m+y}}\). Zatem \(\displaystyle{ ma_{bm+y}\le ma_{bm-m}+ma_{m+y}\le m(b-1)a_m+ma_{m+y}}\). Pozostaje zatem udowodnić, że \(\displaystyle{ ma_{m+y} \le m^2a_1+ya_m}\). Wiemy jednak, że \(\displaystyle{ a_{m+y} \le a_m+a_y\le a_m+ya_1}\). Zatem \(\displaystyle{ ya_{m+y} \le ya_m+y^2a_1}\). Ponadto \(\displaystyle{ (m-y)a_{m+y} \le (m^2-y^2)a_1}\). Sumując te dwie nierówności otrzymujemy \(\displaystyle{ ma_{m+y} \le m^2a_1+ya_m}\), c.k.d.

[timon92]

39.

Ukryta treść:    

Znany fakt. W czworokąt \(\displaystyle{ XYZT}\) można wpisać okrąg \(\displaystyle{ \iff}\) okręgi wpisane w trójkąty \(\displaystyle{ XYZ, ZTX}\) są styczne do \(\displaystyle{ XZ}\) w tym samym punkcie.


Niech \(\displaystyle{ K,M}\) będą punktami przecięcia przekątnych czworokątów \(\displaystyle{ ACQP}\) i \(\displaystyle{ ACSR}\) odpowiednio. Niech \(\displaystyle{ L,N}\) będą punktami styczności okręgów odpowiednio \(\displaystyle{ S_1, S_2}\) z odcinkiem \(\displaystyle{ AC}\).

Z twierdzenia Brianchona wynika, że \(\displaystyle{ K,M}\) leżą na odcinkach \(\displaystyle{ EL, FN}\) odpowiednio.

\(\displaystyle{ (\Rightarrow)}\)
Jeśli punkty \(\displaystyle{ K,M}\) leżą na prostej \(\displaystyle{ EF}\), to punkty \(\displaystyle{ E,F,K,L,M,N}\) są współliniowe. Zatem każdy z punktów \(\displaystyle{ L,N}\) leży zarówno na \(\displaystyle{ EF}\) jak i \(\displaystyle{ AC}\), musi więc być \(\displaystyle{ L=N}\). To zaś implikuje (znany fakt), że w czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) można wpisać w okrąg.

\(\displaystyle{ (\Leftarrow)}\)
Na mocy znanego faktu \(\displaystyle{ L=N}\). Rozważmy jednokładność o środku w \(\displaystyle{ L}\) i skali ujemnej przekształcającą okrąg \(\displaystyle{ S_1}\) na \(\displaystyle{ S_2}\). Wówczas prosta \(\displaystyle{ k}\) przejdzie na prostą \(\displaystyle{ l}\), więc \(\displaystyle{ E}\) przejdzie na \(\displaystyle{ F}\). Zatem punkty \(\displaystyle{ E,F,L}\) są współliniowe. A skoro \(\displaystyle{ K \in EL, M \in FN}\), to \(\displaystyle{ K,M \in EF}\), ckd.

[ordyh]

43.

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ S= x_1+x_2+...+x_n}\), każde równanie ma teraz postać \(\displaystyle{ S = x_i + \frac{1}{x_i}}\). Zachodzi \(\displaystyle{ x_i + \frac{1}{x_i} = x_j + \frac{1}{x_j}}\) dla \(\displaystyle{ i,j \in \{1,...,n\}}\), stąd widzimy, że wszystkie niewiadome są jednego znaku, przekształcając to równanie otrzymujemy \(\displaystyle{ (x_ix_j-1)(x_i-x_j) = 0}\), więc \(\displaystyle{ x_i=\frac{1}{x_j} \vee x_i=x_j}\).
Załóżmy, że wszystkie zmienne są dodatnie oraz zachodzi \(\displaystyle{ x_i=\frac{1}{x_j}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ i,j}\), wtedy:
\(\displaystyle{ S = x_j + \frac{1}{x_j} = x_j + x_i}\)
\(\displaystyle{ S - x_j - x_i = 0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ n=2}\), to po lewej stonie jest 0, gdyż \(\displaystyle{ \{i,j\}= \{1,2\}}\), więc dowolne liczby \(\displaystyle{ x1,x2}\) spełniające\(\displaystyle{ x_1=\frac{1}{x_2}}\) spełniają układ równań.
Jeżeli \(\displaystyle{ n>2}\), to po lewej stronie występuje suma co najmniej jednej niewiadomej, stąd lewa strona nie może być równa 0. Stąd wniosek, że dla każdego \(\displaystyle{ i,j \in \{1,...,n\}}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_i=x_j}\).
Podstawiając do układu równań otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (n-1)\cdot x_1 = \frac{1}{x_1}}\)
stąd
\(\displaystyle{ x_1=x_2=...=x_n = \frac{1}{\sqrt{n-1}}}\)

[timon92]

27.

Ukryta treść:    

Z potęgi punktu względem sfery mamy \(\displaystyle{ AP \cdot A'P = BP \cdot B'P = CP \cdot C'P \quad (1)}\).

Z drugiej strony, skoro sfery \(\displaystyle{ ABCP}\) i \(\displaystyle{ A'B'C'P}\) są styczne, to istnieje jednokładność o środku w \(\displaystyle{ P}\) przekształcająca jedną sferę na drugą. Przy tej jednokładności punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) przechodzą na \(\displaystyle{ A',B',C'}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{AP}{A'P} = \frac{BP}{B'P} = \frac{CP}{C'P} \quad (2)}\)

Mnożąc stronami \(\displaystyle{ (1)}\) przez \(\displaystyle{ (2)}\) i pierwiastkując dostajemy \(\displaystyle{ AP=BP=CP}\), a dzieląc stronami \(\displaystyle{ (1)}\)przez \(\displaystyle{ (2)}\) i pierwiastkując dostajemy \(\displaystyle{ A'P = B'P = C'P}\)

Dodając dwie powyższe równości dostajemy tezę.