kryterium porównawcze zbieżności całki

[figofago]

witam!

jak ograniczyc calke \(\displaystyle{ \int_{1}^{+ \infty } \frac{\sin^2 x}{x^3 +1}}\) ?

[Lorek]

A w jaki najprostszy sposób można ograniczyć sinusa?

[figofago]

chyba tak: \(\displaystyle{ \sin x \le 1}\)

[Lorek]

Dokładnie tak, a raczej prawie dokładnie, bo powinno być ograniczenie z obu stron, albo ograniczenie nieujemnego \(\displaystyle{ \sin^2 x}\)

[figofago]

czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin^2x}{x^3+1} \right| \le 1}\).

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } 1}\) jest rozzbiezna, to \(\displaystyle{ \int_{1}^{+ \infty } \frac{\sin^2 x}{x^3 +1}}\) jest takze.

I to koniec zadania?

To jest moje dopiero 1 zadanie z kryterium poronawczego i nie do konca jestem pewien czy tak ma byc

I jeszcze czy jak ograniczamy, to bierzemy dziedzine \(\displaystyle{ \RR}\) czy taki przedzial jaki jest w całce?

[Lorek]

\(\displaystyle{ \int_{1}^{ \infty } 1=\infty}\) więc raczej ciężko tu o zbieżność

czyli ostatecznie:\(\displaystyle{ \left| \frac{sin^2x}{x^3+1} \right| \le 1.}\)

A po co takie grube to szacowanie? Licznik oszacuj, mianownik zostaw jaki jest.

[figofago]

tak, juz sie wczesniej poprawilem

\(\displaystyle{ \left| \frac{\sin^2x}{x^3+1} \right| \le \frac{1}{x^3+1}}\)

To pierwotna całki \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x^3+1}}\) wychodzi strasznie glupia...

I jeszcze pytanie: czy jak ograniczamy, to bierzemy dziedzine \(\displaystyle{ \RR}\) czy taki przedzial jaki jest w całce?

[Lorek]

Taki jak w całce (no, chyba, że dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) mamy taki sam). Nie podoba ci się całka? Jak jeszcze nie widzisz zbieżności, to możesz znów ograniczyć zmieniając coś w mianowniku...

[figofago]

no tak z prawej strony nie musi byc 1. I teraz wychodzi ladna pierwotna

[geol13]

sorry ze tak odświeżam stary temat ale jak policzyliście ta całke \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x^3+1}}\)

[JakimPL]

\(\displaystyle{ x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)}\) i rozbijamy.