całka z funkcji wymiernej

[mycha-mycha1]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\left( 3x-1\right)dx}{x^{2}+6x+10}}\)

[tometomek91]

spróbuj zrobic tak, żeby w liczniku była pochodna mianownika.

[mycha-mycha1]

nie potrafię...
mianownik mogę zwinąć do postaci \(\displaystyle{ \left( x+3\right)^{2}+1}\)
ale to mi przecież w niczym nie pomaga

[tometomek91]

no to dopiero później, jak juz rozbijemy tę całkę na dwie inne.
a co do tej pochodnej, to potrafisz, trzeba po prostu z \(\displaystyle{ 3x-1}\) zrobić \(\displaystyle{ 2x+6}\).

[mycha-mycha1]

no to będzie
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2x+6+x-5}{x^{2}+6x+10}}\)
takie cos?

[tometomek91]

nie do końca..
\(\displaystyle{ \int \frac{\left( 3x-1\right)dx}{x^{2}+6x+10}=\int \frac{ \frac{3}{2}( 2x+6)-10}{x^{2}+6x+10} dx}\)
teraz stałą przed całkę i można kombinować z mianownikiem.

[mycha-mycha1]

tzn?

[tometomek91]

\(\displaystyle{ ...=\frac{3}{2}\int \frac{ 2x+6}{x^{2}+6x+10} dx-\int \frac{10}{x^{2}+6x+10} dx=\frac{3}{2}\ln(x^{2}+6x+10)-10\int \frac{1}{(x+3)^2+1} dx=\frac{3}{2}\ln(x^{2}+6x+10)-10I}\)
całkę I przez podstawienie:
\(\displaystyle{ t=x+3\\
dt=dx}\)
i mamy:
\(\displaystyle{ I=\int \frac{1}{t^2+1} dt=...}\)
wszystko do kupy i wracamy do podstawienia.

[mycha-mycha1]

z arctg teraz... ok. dzięki za pomoc. wszystko jasne