Zbadać przebieg zmienności funkji

[Chromosom]

skrociles zle, z tej przedostatniej postaci licznika wylacz \(\displaystyle{ x(x-2)^3}\) przed nawias

[cbol]

czyli tak to powinno wyglądać ?
\(\displaystyle{ \frac{(4x ^{3}-24x ^{2}+24x) \cdot x(x ^{3}-6x ^{2}+12x-8)-(x ^{4}-8x ^{3}+12x ^{2}) \cdot 4(x ^{3}-6x ^{2}+24x-8) }{(x-2) ^{4} }=}\)
Następnie trzeba wymnożyć nawiasy ?

[Chromosom]

z tej linijki wylacz przed nawias \(\displaystyle{ x(x-2)^3}\)

\(\displaystyle{ \frac{(4x ^{3}-24x ^{2}+24x) \cdot (x-2) ^{4}-(x ^{4}-8x ^{3}+12x ^{2}) \cdot (4(x-2) ^{3}) }{(x-2) ^{8}}}\)

nie wymnazaj nic bo inaczej nie bedzie mozna okreslic miejsc zerowych, zreszta w ogole nie wiem czy bedzie sie dalo bo wielomian 3 stopnia bedzie ale wylacz tak jak mowilem i zobaczymy

[cbol]

\(\displaystyle{ \frac{(4x ^{3}-24x ^{2}+24x) \cdot x(x-2) ^{3}-(x ^{4}-8x ^{3}+12x ^{2}) \cdot 4(x-2) ^{3} }{(x-2) ^{8} }=}\)
Co dalej z tym zrobić ? Potrzebuję określić przedziały wypukłości i wklęsłości.

[Chromosom]

juz Ci mowilem, wylacz przed nawias, wiesz jak to zrobic?

[cbol]

Chciałbym bardzo wiedzieć jak powyłączać przed nawias ale nie wiem jak sie zabrać do tego....

[Chromosom]

dobra, to podziel najpierw oba skladniki przez ten czynnik, wiesz jak?

[cbol]

Dobra wymiękam ... nie potrafię ...;/ . Mógł byś mi to podzielić ? wyjdzie w miarę prosty ułamek (licznik)?

[Chromosom]

to sa absolutne podstawy, musisz to powtorzyc bo inaczej sobie nie poradzisz dalej w matematyce, dzielenie mozna zapisac jako ulamek gdzie liczba dzielona jest licznikiem a dzielnik mianownikiem nie? to zapisz sobie taki ulamek i sprobuj go skrocic

[cbol]

\(\displaystyle{ \frac{\frac{4x ^{3}-24x ^{2}+24x \cdot (x-2) ^{4}-(x ^{4}-8x ^{3} +12x ^{2}) \cdot 4(x-2) ^{3} }{x(x ^{3}-6 ^{2} +12x-8) }}{(x-2) ^{8} }}\)

[Chromosom]

dobrze, tylko pamietaj ze potem musisz przepisac to samo wyrazenie \(\displaystyle{ x(x-2)^3}\) po lewej stronie. Teraz wroc do postaci mianownika zanim go wymnozyles: \(\displaystyle{ x(x-2)^3}\) i skroc ulamek, zauwaz ze

\(\displaystyle{ \frac{\left(4x^3-24x^2+24x\right)(x-2)^4-4(x-2)^3\left(x^4-8x^3+12x^2\right)}{x(x-2)^3}=\\ \\=\frac{x\left(4x^2-24x+24\right)(x-2)^4}{x(x-2)^3}-\frac{4x^2(x-2)^3\left(x^2-8x+12\right)}{x(x-2)^3}}\)

[cbol]

Nie wiem czy dobrze poskracałem ale wychodzi mi licznik tak :
\(\displaystyle{ \frac{(4x ^{2}-24x+24)(x-2)-4x ^{2}(x ^{2}-8x+12) }{(x-2) ^{8} }}\)
Wymnażać nawiasy ? co dalej z tym robić ?

[Chromosom]

prawie dobrze, tylko w liczniku zapomniales o skroceniu jednego \(\displaystyle{ x}\) czyli uwzgledniajac to ze te czynniki zostaly wylaczone przed nawias wyrazenie przyjelo postac
\(\displaystyle{ f^{\prime\prime}(x)=x(x-2)^3\frac{\left(4x^2-24x+24\right)(x-2)-4x\left(x^2-8x+12\right)}{(x-2)^8}}\)
i teraz wymnoz nawiasy z licznika, wyrazy 3 stopnia zredukuja sie i zostanie trojmian kwadratowy

[cbol]

ok wymnożyłem nawiasy
\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{x(x-2) ^{3} \cdot (24x-48) }{(x-2) ^{8} }}\)
Pytanie czy można rozpisać licznik i mianownik tak i po skracać:
\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{x(x-2) \cdot (x-2) \cdot (x-2) \cdot (24x-48)}{(x-2) \cdot (x-2) \cdot (x-2) ^{6}} =}\)
\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{x(x-2) \cdot (24x-48)}{(x-2) ^{6} }}\)
\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{(x ^{2}-2x) \cdot (24x-48) }{(x-2) ^{6} }}\)
Bodajże aby wyliczyć punkty przegięcia , to warunek konieczny: \(\displaystyle{ f''(x)=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x(x-2) \cdot (24x-48)}{(x-2) ^{6} } =0}\)
Wychodzi na to że w punktach \(\displaystyle{ 0 ; 2}\) może być punkt przegięcia.
\(\displaystyle{ f}\) jest wypukła ku dołowi \(\displaystyle{ \cup \Leftrightarrow f''(x) >0}\)
\(\displaystyle{ \frac{x(x-2)(24x-48)}{(x-2) ^{6}} >0 \Leftrightarrow x>0 \vee x-2>0 \vee 24x-48>0}\)
\(\displaystyle{ x \in (0,2) \vee (2,+ \infty ) ??}\)
\(\displaystyle{ f}\) wklęsła ku górze
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,2)}\) ??

[Chromosom]

bardzo dobrze zrobiles. Mozesz tak zrobic poniewaz wyrazenie \(\displaystyle{ (x-2)^2}\) zachowuje staly znak i nie ma wplywu na przedzialy rozwiazania nierownosci. Zauwaz takze ze \(\displaystyle{ x(x-2)(24x-48)=24(x-2)(x-2)=24(x-2)^2}\) i to wyrazenie tez mozesz skrocic. Co do punktu przegiecia \(\displaystyle{ x=2}\) to zastanow sie nad dziedzina - czy ten punkt nalezy do dziedziny funkcji? wypuklosc w dol dobrze, pomysl nad wypukloscia (nie wklesloscia) ku gorze bo to akurat masz zle, mozesz rozwiazac uproszczona postac nierownosci po skroceniu \(\displaystyle{ (x-2)^2}\)